簡単な分数漸化式の解法

漸化式 $a_{n+1}=\dfrac{a_n}{4a_n+5}$ の逆数をとると

\begin{align} &\frac{1}{a_{n+1}}=\frac{4a_n+5}{a_n}\\ \Leftrightarrow\ &\frac{1}{a_{n+1}}=5\cdot\frac{1}{a_n}+4 \end{align}

となるので， $b_n=\dfrac{1}{a_n}$ とおくと，数列 $\{b_n\}$ は

\[b_{n+1}=5b_n+4\tag{1}\label{an/4an+5}\]

$\blacktriangleleft$ 線形2項間漸化式に帰着された

を満たす．

ここで， $\alpha=5\alpha+4$ を満たす $\alpha$ つまり， $\alpha=-1$ を用いて $\eqref{an/4an+5}$ は

\begin{array}{c} &b_{n+1}&=&5b_n&+&4\\ -)&\alpha&=&5\alpha&+&4\\\hline &b_{n+1}-\alpha&=&5(b_n-\alpha)&& \end{array}

に，特性方程式の解 $\alpha=-1$ を代入して

\[b_{n+1}+1=5(b_n+1)\]

と変形できる． $c_n=b_n+1$ とおくと，数列 $\{c_n\}$ は

\[c_{n+1}=5c_n\]

$\blacktriangleleft$ 等比数列に帰着された

を満たすので， $c_n$ は

\begin{align} c_n&=c_15^{n-1}\\ &=(b_1+1)5^{n-1}\\ &=\left(\frac{1}{a_1}+1\right)5^{n-1}\\ &=3\cdot5^{n-1} \end{align}

$c_n=b_n+1$ であったから $c_n$ を $b_n$ の式に戻す

\begin{align} &b_n+1=3\cdot5^{n-1}\\ \therefore\ &b_n=3\cdot5^{n-1}-1 \end{align}

さらに， $b_n=\dfrac{1}{a_n}$ であったから $b_n$ を $a_n$ の式に戻す

\begin{align} &\frac{1}{a_n}=3\cdot5^{n-1}-1\\ \therefore\ &a_n=\frac{1}{3\cdot5^{n-1}-1} \end{align}