一般の分数漸化式の解法
一般の分数漸化式の解法
分数漸化式~その2~
a1=2,an+1=2an+2an+3(n≧1) で定まる数列 {an} の一般項 an を n の式で表せ.
【解答1:等比数列に帰着させる方法】
まず,特性方程式 t=2t+2t+3 を解く.
t=2t+2t+3⇔t(t+3)=2t+2⇔t2+t−2=0⇔(t+2)(t−1)=0∴t=−2,1この異なる2解を利用して, bn=an−1an+2 とおくと
◂ 2解 \alpha,\beta を用いて b_n=\dfrac{a_n-\beta}{a_n-\alpha} とおくと, b_n は必ず等比数列になる
\begin{align} b_{n+1}&=\frac{a_n-1}{a_n+2}\\ &=\frac{\dfrac{2a_n+2}{a_n+3}-1}{\dfrac{2a_n+2}{a_n+3}+2}\\ &=\frac{a_n-1}{4a_n+8} \end{align}\blacktriangleleft ここから b_n=\dfrac{a_n-1}{a_n+2} の塊をくくりだすのがポイント
\begin{align} b_{n+1}&=\frac{a_n-1}{4a_n+8}\\ &=\frac{a_n-1}{4(a_n+2)}\\ &=\frac{1}{4}\cdot b_n \end{align}\blacktriangleleft 数列 \{b_n\} は等比数列になっている
となり,数列 \{b_n\} は初項 b_1=\dfrac{a_1-1}{a_1+2}=\dfrac{1}{4} ,公比 \dfrac{1}{4} の等比数列となるので
b_n=b_1\cdot\left(\frac{1}{4}\right)^{n-1}=\left(\frac{1}{4}\right)^nここで, b_n=\dfrac{a_n-1}{a_n+2} であったから b_n を a_n の式に戻す
\begin{align} &b_{n+1}=\left(\frac{1}{4}\right)^n\\ \Leftrightarrow\ &\frac{a_n-1}{a_n+2}=\left(\frac{1}{4}\right)^n\\ \Leftrightarrow\ &(a_n-1)4^n=a_n+2\\ \Leftrightarrow\ &(4^n-1)a_n=4^n+2\\ \therefore\ &a_n=\frac{4^n+2}{4^n-1} \end{align}【解答2:簡単な分数型漸化式に帰着させる方法】
まず,特性方程式 t=\dfrac{2t+2}{t+3} を解く.
\begin{align} &t=\frac{2t+2}{t+3}\\ \Leftrightarrow\ &t(t+3)=2t+2\\ \Leftrightarrow\ &t^2+t-2=0\\ \Leftrightarrow\ &(t+2)(t-1)=0\\ \therefore\ &t=-2,1 \end{align}この解の1つ t=1 を利用して
\blacktriangleleft 解答2では,2解のうち片方しか利用せず,どちらを利用してもかまわない
\begin{align} a_{n+1}-1&=\frac{2a_n+2}{a_n+3}-1\\ &=\frac{2a_n+2-(a_n+3)}{a_n+3}\\ &\uparrow通分した\\ &=\frac{a_n-1}{a_n+3} \end{align}\blacktriangleleft a_n-1 を塊とみて,簡単な分数漸化式に帰着させるのがポイント
\begin{align} a_{n+1}-1&=\frac{a_n-1}{a_n+3}\\ &=\frac{a_n-1}{(a_n-1)+4} \end{align}\blacktriangleleft a_n-1=c_n とおくと c_{n+1}=\dfrac{c_n}{c_n+4} となり,簡単な分数漸化式に帰着されているのがよくわかる
と変形できる.この漸化式の逆数をとって
\begin{align} \frac{1}{a_{n+1}-1}&=\frac{(a_n-1)+4}{a_n-1}\\ &=\frac{4}{a_n-1}+1 \end{align}b_n=\dfrac{1}{a_n-1} とおくと
b_{n+1}=4b_n+1\tag{1}\label{ippanteki1}となる.
\blacktriangleleft 線形2項間漸化式に帰着された
ここで, \alpha=4\alpha+1 を満たす \alpha つまり, \alpha=-\frac{1}{3} を用いて \eqref{ippanteki1} より
\begin{array}{c} &b_{n+1}&=&4b_n&+&1\\ -)&\alpha&=&4\alpha&+&1\\\hline &b_{n+1}-\alpha&=&4(b_n-\alpha)&& \end{array}に,特性方程式の解 \alpha=-\dfrac{1}{3} を代入
b_{n+1}+\frac{1}{3}=4\left(b_n+\frac{1}{3}\right)と変形できる.さらに, c_n=b_n+\dfrac{1}{3} とおくと,数列 \{c_n\} は
c_{n+1}=5c_n\blacktriangleleft 等比数列に帰着された
を満たすので, c_n は
\begin{align} c_n&=c_14^{n-1}\\ &=\left(b_1+\frac{1}{3}\right)4^{n-1}\\ &=\left(\frac{1}{a_1-1}+\frac{1}{3}\right)4^{n-1}\\ &=\frac{4}{3}\cdot4^{n-1}\\ &=\frac{1}{3}4^n \end{align}c_n=b_n+\dfrac{1}{3} であったから c_n を b_n の式に戻す
\begin{align} &b_n+\frac{1}{3}=\frac{1}{3}4^n\\ \Leftrightarrow\ &b_n=\frac{1}{3}4^n-\frac{1}{3}\\ \therefore\ &b_n=\frac{4^n-1}{3}\\ \end{align}さらに, b_n=\dfrac{1}{a_n-1} であったから b_n を a_n の式に戻す
\begin{align} &\frac{1}{a_n-1}=\frac{4^n-1}{3}\\ \Leftrightarrow\ &a_n-1=\frac{3}{4^n-1}\\ \Leftrightarrow\ &a_n=\frac{3}{4^n-1}+1\\ \Leftrightarrow\ &a_n=\frac{3+4^n-1}{4^n-1}\\ &\uparrow通分した\\ \therefore\ &a_n=\frac{4^n+2}{4^n-1} \end{align}