ボールと箱のモデル2
無題
例えば， $_{5}\Pi_{3}$ の定義は
「区別する5個のものから，繰り返し用いることを許して，3個とりだして1列に並べるときの並べ方の総数」
であったが，これはボールと箱のモデルを使って
「区別する3個のボールを，区別する5個の箱に配る（何個でもよい）場合の総数」
といいかえることができる．それには，次のように考えるとよい．
準備として，ボールは区別するので番号をつけ，それを①，②，③とし， 箱も区別するので番号をつけ，それを
としておく．
まず，ボール①を箱に配ることを考えると，箱は5つあるので5通りの場合がある．
次に，ボール②を箱に配ることを考えると，箱には何個でもボールを入れてよいので，このときも5通りの場合がある．
さらに，ボール③を箱に配ることを考えると，同じように5通りの場合がある．
以上から，ボールの箱への配り方は $5\times5\times5$ 通りあり，これは $_{5}\Pi_{3}$ と一致する．
一般に，次のようにまとめることができる．
重複順列 $_{n}\Pi_{r}$ のボールと箱のモデル
重複順列 $_{n}\Pi_{r}$ はボールと箱のモデルを用いて
「区別する $r$ 個のボールを，区別する $n$ 個の箱に配る（何個でもよい）場合の総数」
と考えることができる．
重複順列～その2～
4桁の電話番号は0000から9999まで10000通りある． このうち，0007や3556のように同じ数字が連続しているものは何通りあるか． また，数字の1と6の両方を含むものは何通りあるか．
10000通りの電話番号を全体集合 $U$ として， $X$ を
\[X：同じ数字が連続しているもの\]とおく．まず $\overline{X}$ ，すなわち同じ数字が連続していないものについて考える．
左から順に数字を並べたとき，はじめの数字はなんでもよいので10通りあり， 左から2番目の数字は今並べた数字とは同じにならないようにするため9通りある． 左から3番目，4番目も同様に9通りあるので
\[n(\overline{X})=10\times9^3=7290\]よって
\begin{align} n(X)=&\ n(U)-n(\overline{X})\\ =&\ 10000-7290\\ =&\ \boldsymbol{2710} \end{align}通り
また
\[A：数字の1を含む\] \[B：数字の6を含む\]とおくと， $\overline{A}$ ，すなわち数字の1を含まないものは $9^4$ 通りあり， $\overline{B}$ ，すなわち数字の6を含まないものも同様に $9^4$ 通りあり， $\overline{A}\cap\overline{B}$ ，すなわち数字の1と6を含まないものは $8^4$ 通りあるので
\begin{align} n(A\cap{B}) =&\ n(U)-n(\overline{A\cap{B}})\\ =&\ n(U)-n(\overline{A}\cup\overline{B}) \\ =&\ n(U)-\\ &\left\{n(\overline{A})+n(\overline{B})-n(\overline{A}\cap{\overline{B}})\right\}\\ =&\ 10000-(9^4+9^4-8^4)\\ =&\ \boldsymbol{974} \end{align}通り