重複順列$_{n}\Pi_{r}$の計算
区別する $n$ 個のものから，繰り返し用いることを許して， $r$ 個取り出して1列に並べる順列の数 $_{n}\Pi_{r}$ も，先程の例と同じように考えることができる．
まず，1番目のものの取り方は $n$ 通りあり，2番目のものの取り方もそのそれぞれに対して $n$ 通りあり， 3番目のものの取り方もそのそれぞれに対して $n$ 通りあり， $\cdots$ ， $r$ 番目のものの取り方もそのそれぞれに対して $n$ 通りある．
したがって，積の法則より
\begin{align} _{n}\Pi_{r}&=\underbrace{n\times{n}\times\cdots\times{n}}_{r個の積}=n^r \end{align}と計算できることがわかる．
重複順列 $_{n}\Pi_{r}$ の計算
重複順列 $_{n}\Pi_{r}$ は
\[_{n}\Pi_{r}=n^r\]と計算できる．
重複順列の計算練習
次の値を求めよ.
- $_{4}\Pi_{2}$
- $_{5}\Pi_{2}$
- $_{6}\Pi_{3}$
- $_{8}\Pi_{4}$
- $_{4}\Pi_{2}=4^2=\boldsymbol{16}$
- $_{5}\Pi_{2}=5^2=\boldsymbol{25}$
- $_{6}\Pi_{3}=6^3=\boldsymbol{216}$
- $_{8}\Pi_{4}=8^4=\boldsymbol{4096}$
重複順列～その1～
7色の絵の具で3つの場所を塗る場合について次の問に答えよ．
- 同じ色を使わないで塗る方法は何通りあるか．
- 同じ色を使って塗る方法は何通りあるか．
- 最初の場所を塗るには7通りの色が選べ，そのそれぞれに対して，
- 3つの場所それぞれ，7通りの色が選べる． つまり，7つのものから繰り返しを許して3つ並べる重複順列となり \[_{7}\Pi_{3}=7^3=\boldsymbol{343}通り\]
次の場所を塗るには最初に使った絵の具以外の6通りの色が選べ，さらにそのそれぞれに対して， 最後の場所を塗るには5通りの色が選べる． つまり，7つのものから3つを選んで並べる順列となり
\[_{7}\mathrm{P}_{3}=\boldsymbol{210}通り\]