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組合せnCrの定義

4枚のカード A , B , C , D から 2枚のカードの(順序は考えずに)組をつくる場合の数は,すべて書き出すと

{A,B},{A,C},{A,D},{B,C},{B,D},{C,D}

の6通りとなる.これは,順列の考え方を利用し,次のように計算することもできる.

まず,4枚のカードから2枚引いて順列を作ると,樹形図は図のようになり,その総数は 4P2=4×3=12 通りである.

しかし,2枚のカードの組を作る場合には,図の樹形図で例えば①,②は並ぶ順が異なるだけなので,これらは2つで1通りと数えなければならない. これら以外の順列にも同様のことがいえるので, 2枚のカードの組の総数は,順列の総数 4P2 を2で割ることにより

4P22=122=6

∴6通り

として計算できる.

このようにいくつかの組をつくる場合の数を定義しておこう.

組合せ nCr の定義

「区別する n 個のものから r 個取り出して作った組」のことを nr 組合せ(combination)

といい, その組の総数を nCr と表す.

この例では, 4C2=4×32=6 である.