組合せnCrの定義
4枚のカード A , B , C , D から 2枚のカードの(順序は考えずに)組をつくる場合の数は,すべて書き出すと
{A,B},{A,C},{A,D},{B,C},{B,D},{C,D}の6通りとなる.これは,順列の考え方を利用し,次のように計算することもできる.
まず,4枚のカードから2枚引いて順列を作ると,樹形図は図のようになり,その総数は 4P2=4×3=12 通りである.
しかし,2枚のカードの組を作る場合には,図の樹形図で例えば①,②は並ぶ順が異なるだけなので,これらは2つで1通りと数えなければならない. これら以外の順列にも同様のことがいえるので, 2枚のカードの組の総数は,順列の総数 4P2 を2で割ることにより
4P22=122=6∴6通り
として計算できる.
このようにいくつかの組をつくる場合の数を定義しておこう.
組合せ nCr の定義
「区別する n 個のものから r 個取り出して作った組」のことを n−r 組合せ(combination)
といい, その組の総数を nCr と表す.
この例では, 4C2=4×32=6 である.