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4枚のカード $\fbox{A}$ , $\fbox{B}$ , $\fbox{C}$ , $\fbox{D}$ から 2枚のカードの(順序は考えずに)組をつくる場合の数は，すべて書き出すと

\begin{align} &\left\{\fbox{A},\fbox{B}\right\},\left\{\fbox{A},\fbox{C}\right\},\left\{\fbox{A},\fbox{D}\right\}\\ &,\left\{\fbox{B},\fbox{C}\right\},\left\{\fbox{B},\fbox{D}\right\},\left\{\fbox{C},\fbox{D}\right\} \end{align}

の6通りとなる．これは，順列の考え方を利用し，次のように計算することもできる．

まず，4枚のカードから2枚引いて順列を作ると，樹形図は図のようになり，その総数は $_{4}\mathrm{P}_{2}=4\times3=12$ 通りである．

しかし，2枚のカードの組を作る場合には，図の樹形図で例えば①，②は並ぶ順が異なるだけなので，これらは2つで1通りと数えなければならない．これら以外の順列にも同様のことがいえるので， 2枚のカードの組の総数は，順列の総数 $_{4}\mathrm{P}_{2}$ を2で割ることにより

\begin{align} \dfrac{_{4}\mathrm{P}_{2}}{2}=\dfrac{12}{2}=6 \end{align}

∴6通り

として計算できる．

このようにいくつかの組をつくる場合の数を定義しておこう．

組合せ $_{n}\mathrm{C}_{r}$ の定義

「区別する $n$ 個のものから $r$ 個取り出して作った組」のことを $\boldsymbol{n-r}$ 組合せ(combination)

といい，その組の総数を $\boldsymbol{{n}\mathrm{C}{r}}$ と表す．

組合せ$_{n}\text{C}_{r}$の定義

組合せ $_{n}\mathrm{C}_{r}$ の定義