同じものを含む順列$\text{C}(n_1,n_2,\cdots,n_m)$の計算

第 $i$ 種 $(1\leqq{i}\leqq{m})$ のものが $n_i$ 個ずつ全部で $n_1+n_2+\cdots+n_m=n$ 個あり，同種のものは区別しないときの 同じものを含む順列の総数 $\text{C}(n_1,n_2,\cdots,n_m)$ は

\begin{align} &\ \text{C}(n_1,~n_2,~\cdots,~n_m)\\ =&\ _{n}\mathrm{C}_{n_1}\times\ _{n-n_1}\mathrm{C}_{n_2}\times\\ &\qquad\cdots\times\ _{n-n_1-\cdots{n}_{m-1}}\mathrm{C}_{n_m}\tag{1}\label{Cnokeisan1}\\ =&\ \frac{n!}{(n-n_1)!n_1!}\\ &\times\frac{(n-n_1)!}{(n-n_1-n_2)!n_2!}\times\\ &\cdots\times\frac{(n-n_1-\cdots-n_{m-1})!}{0!n_m!}\\ =&\ \frac{n!}{n_1!n_2!n_3!\cdots n_m!}\tag{2}\label{Cnokeisan2} \end{align}

と計算できる．

例えば， $a$ が3個， $b$ が2個， $c$ が1個の計6個の順列の総数は $\eqref{Cnokeisan1}$ を用いて

\begin{align} \text{C}(3,2,1)=&\ _{6}\mathrm{C}\ _{3}\times\ _{6-3}\mathrm{C}_{2}\times\ _{6-3-2}\mathrm{C}_{1}\\ =&\ _{6}\mathrm{C}_{3}\times\ _{3}\mathrm{C}_{2}\times\ _{1}\mathrm{C}_{1}=60 \end{align}

または， $\eqref{Cnokeisan2}$ を用いて

\begin{align} \text{C}(3,~2,~1) =&\frac{6!}{3!2!1!}=60 \end{align}

と計算できる．