重複組合せ$_nH_r$の定義

の目が描いてある正四面体のさいころを2回振って， 出た目の組（順番は考えない）をすべて書き出すと

の10通りとなる．これは，『同じものを含む順列』の考え方を利用し，次のように計算することができる．

無題

まず，各組はの順に並べて表すことにする．例えば， を1個，を1個使って作られる組はと表す．この組に対して，さいころの目を表す2個の $\bigcirc$ と，異なる4文字の“しきり”を表す $(4−1)=3$ 個の $\mid$ からなる順列を，右図のように対応させる． つまり，3つの“しきり” $\mid$ で4つの場所ができるので，その場所にある $\bigcirc$ の個数が，それぞれさいころの の個数を表すものとするのである．

無題

例えば，上の10組のうちの， や や などは， $\bigcirc$ と $\mid$ の順列で右図のように表すことができる．

こうすると，結局，区別しない2個の $\bigcirc$ と区別しない3個の $\mid$ の計5個のものを並べたときの順列を計算すればよいから， 『同じものを含む順列』より

$\text{C}(2,3)=\dfrac{5!}{2!3!}=10$ 通り

と数えることができる．

ここで， $n$ 個のものから，繰り返し用いることを許して， $r$ 個とって作る組について定義しておこう．

この例では

である．