ボールと箱のモデル5

例えば， $_{5}\mathrm{H}_{3}$ の定義は

「区別する5個のものから，繰り返し用いることを許して，3個とりだしてつくる組の総数」

であったが，これはボールと箱のモデルを使って

「区別しない3個のボールを，区別する5個の箱に配る(何個でもよい)場合の総数」

といいかえることができる．それには，次のように考えるとよい．

説明文

説明文

準備として，ボールは区別しないので，それを $\bigcirc,\bigcirc,\bigcirc$ とし， 箱は区別するので番号をつけ，それを としておく．

例えば，区別しない3個のボールを，区別する5個の箱に，図のように配ったとする．

このときは，5−3重複組合せのうちの $\{2,2,5\}$ と対応すると考えることができる．

また逆に，5−3重複組合せのうちの $\{2,2,5\}$ は，図のようなボールの配り方に対応すると考えることができる．

これ以外の5−3重複組合せも，ボールの箱への配り方と1対1に対応するので， 結局，ボールの箱への配り方の総数は $_{5}\mathrm{H}_{3}$ と一致するといえる．

一般に，次のようにまとめることができる．

重複組合せ $_{n}\mathrm{H}_{r}$ のボールと箱のモデル

重複組合せ $_{n}\mathrm{H}_{r}$ はボールと箱のモデルを用いて

「区別しない $r$ 個のボールを，区別する $n$ 個の箱に配る(何個でもよい)場合の総数」

と考えることができる．

吹き出し無題

ただし，この考え方ではうまく計算できないので，実際に計算するときには重複組合せ $_{n}\mathrm{H}_{r}$ の定義でみたように，“ $\bigcirc$ と $\mid$ の並べ方”の問題へ帰着することになる．

重複組合せ

  1. 3種類の果物，りんご，かき，なしを使って，7個入りの果物かごを作る．1つも入らない種類があってもよいとすると，何通りの果物かごができるか求めよ．
  2. 1. で，3種類の果物を最低1個は入れるものとすると，何通りの果物かごができるか求めよ．

  1. 【解1：重複組合せで考える】

    2. 区別する3種類のものを，重複を許して7つ取り出し組を作ればよいので

    $_{3}\mathrm{H}_{7}=\ _{3+7-1}\mathrm{C}_{7}=\boldsymbol{36}$ 通り

    $\uparrow\ _{3}\mathrm{H}_{7}=\dfrac{3\cdot4\cdot5\cdot6\cdot7\cdot8\cdot9}{7\cdot6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1}$

    と計算してもよい

    【解2：同じものを含む順列に帰着させる】

    7個のものを $\bigcirc$ を使って

    と表すことにする．

    これらを2つの“しきり” $\mid$ によって，3つの区間に分け，左から順にりんご，かき，なしと対応させる． こうすると，例えば

    \begin{align} \bigcirc\mid\bigcirc\bigcirc\mid\bigcirc\bigcirc\bigcirc\bigcirc \end{align}

    は，りんご1個，かき2個，なし4個を表し

    \begin{align} \bigcirc\bigcirc\bigcirc\mid\mid\bigcirc\bigcirc\bigcirc\bigcirc \end{align}

    は，りんご3個，かき0個，なし4個を表す．

    7個の $\bigcirc$ と2個の $\mid$ の計9個のものを1列に並べる並べ方の数が，考える果物かごの数である． よって

    $\text{C}(7,2)=\ _{7+2}\mathrm{C}_{2}=\boldsymbol{36}$ 通り

    $\uparrow$ 同じものを含む順列

  2. 【解1：重複組合せで考える】

    3. まず，りんご，かき，なしから１つずづ計3個取り出しておく．残りの4つについて，重複を許して組を作ればよいので

    $_{3}\mathrm{H}_{4}=\ _{3+4-1}\mathrm{C}_{4}=\boldsymbol{15}$ 通り

    $\uparrow\ _{3}\mathrm{H}_{4}=\dfrac{3\cdot4\cdot5\cdot6}{4\cdot3\cdot2\cdot1}$

    と計算してもよい

    【解2：『資源配分』に帰着させる】

    $\uparrow$ この解法について詳しくは，次の資源配分を参照のこと

    1. と同様に，7個のものを $\bigcirc$ を使って

    と表すことにする．

    りんご，かき，なしそれぞれから，最低1個はとりだすので，今度は2つの“しきり” $\mid$ を6ヶ所ある $\bigcirc$ の“すきま”にいれ，3つの区間に分け，左から順にりんご，かき，なしと対応させる．こうすると，例えば

    \begin{align} \bigcirc\mid\bigcirc\bigcirc\mid\bigcirc\bigcirc\bigcirc\bigcirc \end{align}

    は，りんご1個，かき2個，なし4個を表し

    \begin{align} \bigcirc\bigcirc\bigcirc\bigcirc\mid\bigcirc\mid\bigcirc\bigcirc \end{align}

    は，りんご4個，かき1個，なし2個を表す．

    7個の $\bigcirc$ によって作られる，6ヶ所の“すきま”から2個の $\mid$ の入る場所を選ぶ選び方の数が，考える果物かごの数である．よって

    $_{6}\mathrm{C}_{2}=\boldsymbol{15}$ 通り