加法定理
説明文
ある試行の標本空間 $U$ と，事象 $A,B$ について考える．
事象 $A,B$ に包含と排除の原理を用いると
\[n(A\cup{B})=n(A)+n(B)-n(A\cap{B})\]が成り立つ．この両辺を標本空間 $U$ の根元事象の個数 $n(U)$ で割ると
\[\frac{n(A\cup{B})}{n(U)}=\frac{n(A)}{n(U)}+\frac{n(B)}{n(U)}-\frac{n(A\cap{B})}{n(U)}\] \begin{align} \therefore\ P(A\cup{B})=&P(A)+P(B)\\ &\ -P(A\cap{B})\tag{1}\label{kahouteiri} \end{align}が成り立つ．
この $\eqref{kahouteiri}$ のことを，確率の加法定理(addition theorem)という．
加法定理
ある試行における事象 $A,B$ について
\[P(A\cup{B})=P(A)+P(B)-P(A\cap{B})\]が成り立つ．
吹き出し無題
$P(A\cup{B})$ を求めるのに， $P(A)$ と $P(B)$ を加えたのでは， $P(A\cap{B})$ を2回加えたことになる．そこで，余分な1回分の $P(A\cap{B})$ を引くのだと考えると覚えやすい．イメージは下の図のようになる．
加法定理
2個のさいころ $A,B$ を同時に投げるとする． さいころ $A$ で3の目が出るか，またはさいころ $B$ で3の目が出る確率を求めよ．
$A$ ：「 $A$ のさいころで3の目が出る」
$B$ ：「 $B$ のさいころで3の目が出る」
とすると，求める確率は $P(A\cup{B})$ である．
いま， $P(A),P(B)$ は
\[P(A)=P(B)=\frac{1}{6}\]である．
また，2つのさいころの目の出方は $6^2$ 通りあり， このうちともに3の目となるのは1通りであるから， $P(A\cap B)$ は
\[P(A\cap B)=\frac{1}{36}\]となる．
以上より
\begin{align} P(A\cup B)&=P(A)+P(B)-P(A\cap B)\\ &=\frac{1}{6}+\frac{1}{6}-\frac{1}{36}=\boldsymbol{\frac{11}{36}} \end{align}
$\blacktriangleleft$ 加法定理