加法定理

説明文

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ある試行の標本空間 $U$ と,事象 $A,B$ について考える.

事象 $A,B$ に包含と排除の原理を用いると

\[n(A\cup{B})=n(A)+n(B)-n(A\cap{B})\]

が成り立つ.この両辺を標本空間 $U$ の根元事象の個数 $n(U)$ で割ると

\[\frac{n(A\cup{B})}{n(U)}=\frac{n(A)}{n(U)}+\frac{n(B)}{n(U)}-\frac{n(A\cap{B})}{n(U)}\] \begin{align} \therefore\ P(A\cup{B})=&P(A)+P(B)\\ &\ -P(A\cap{B})\tag{1}\label{kahouteiri} \end{align}

が成り立つ.

この $\eqref{kahouteiri}$ のことを,確率の加法定理(addition theorem)という.

加法定理

ある試行における事象 $A,B$ について

\[P(A\cup{B})=P(A)+P(B)-P(A\cap{B})\]

が成り立つ.

吹き出し無題

$P(A\cup{B})$ を求めるのに, $P(A)$ と $P(B)$ を加えたのでは, $P(A\cap{B})$ を2回加えたことになる.そこで,余分な1回分の $P(A\cap{B})$ を引くのだと考えると覚えやすい.イメージは下の図のようになる.

加法定理

2個のさいころ $A,B$ を同時に投げるとする. さいころ $A$ で3の目が出るか,またはさいころ $B$ で3の目が出る確率を求めよ.

$A$ :「 $A$ のさいころで3の目が出る」

$B$ :「 $B$ のさいころで3の目が出る」

とすると,求める確率は $P(A\cup{B})$ である.

いま, $P(A),P(B)$ は

\[P(A)=P(B)=\frac{1}{6}\]

である.

また,2つのさいころの目の出方は $6^2$ 通りあり, このうちともに3の目となるのは1通りであるから, $P(A\cap B)$ は

\[P(A\cap B)=\frac{1}{36}\]

となる.

以上より

\begin{align} P(A\cup B)&=P(A)+P(B)-P(A\cap B)\\ &=\frac{1}{6}+\frac{1}{6}-\frac{1}{36}=\boldsymbol{\frac{11}{36}} \end{align}
$\blacktriangleleft$ 加法定理