和・差・積の余り
和・差・積の余り
5+6を4で割った余りは， $5+6=11$ であるから， $11=4\cdot2+3$ より3である．
これは，5を4で割った余りの1と，6を4で割った余りの2を加えた3と等しい．
すなわち，「足してから割った余り」と「割ってから足した余り」が等しくなっている． 一般的に次のことが言える．
和・差・積の余り
2つの整数 $a,b$ を $m$ で割った時の余りを，それぞれ $r,r'$ とすると，次のことが成り立つ．
- $a+b$ を $m$ で割った余りは， $r+r'$ を $m$ で割った余りと等しい．
- $a−b$ を $m$ で割った余りは， $r−r'$ を $m$ で割った余りと等しい．
- $ab$ を $m$ で割った余りは， $rr'$ を $m$ で割った余りと等しい．
【証明】
和・差・積の余り
- $5^{100}$ を4で割った余りを求めよ．
- $2^{100}$ を7で割った余りを求めよ．
なし