分数列の和

一般項 $a_n$ が

\[a_n=\frac{1}{n(n+1)}\tag{1}\label{bunsuretunowa}\]

で与えられる数列は，具体的に書くと

となる．

この $\eqref{bunsuretunowa}$ のように，一般項 $a_n=\frac{1}{n(n+1)}$ で表される数列の，初項から第 $n$ 項までの和は次のように求めることができる

STEP1

まず $a_n=\frac{1}{n(n+1)}$ を分解する．このとき，下のように自分で $a$ とおく( $a$ の値は後で求める)．

\[\frac{1}{n(n+1)}=\frac{a}{n}-\frac{a}{n+1}\]

$\blacktriangleleft$ 分母の $n(n+1)$ を分解して $n$ と $n+1$ にする

このような式変形を，部分分数分解(resolve into partial fractions)という．

STEP2

右辺を通分し， $\frac{1}{n(n+1)}$ と等しくなるように $a$ を決定する．

\begin{align} &\ \frac{a}{n}-\frac{a}{n+1}\\ =&\ \frac{a(n+1)}{n(n+1)}-\frac{an}{n(n+1)}\\ &\blacktriangleleft\frac{1}{n(n+1)}で通分した\\ =&\ \frac{a}{n(n+1)} \end{align}

これが， $\frac{1}{n(n+1)}$ と等しくなるのは，(分子を比較して) $a=1$ のときである．これより

\[\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\]

$\blacktriangleleft$ 分解が完了した

という等式を得る．

STEP3

右辺の式を利用して，初項から第 $n$ 項までの和を，具体的に書き出してみる．

\begin{align} &\ \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k(k+1)}\\ =&\ \sum_{k=1}^{n}\left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}\right)\\ =&\ \left(\frac{1}{1}-\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)+\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\right)\\ &+\cdots+\left(\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}\right)+\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right) \end{align}

STEP4

相殺して消える部分ができるので，下のように消していく．

\begin{align} &\ \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k(k+1)}\\ =&\ \sum_{k=1}^{n}\left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}\right)\\ =&\ \left(\frac{1}{1}-\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)+\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\right)\\ &+\cdots+\left(\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}\right)+\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)\\ =&\ \frac{1}{1}-\frac{1}{n+1}\\ =&\ \frac{n}{n+1} \end{align}

よって

\[\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k(k+1)}=\frac{n}{n+1}\]

を得る．

解法をまとめておこう．