階差数列とは何か

下の数列の第 $n$ 項をいきなり求めるのは,少し難しい.

このように一般項がすぐに把握できない場合は,隣り合った項の差をとって,新たな数列をつくってみるとうまくいくことがある.まず新しく作られる数列について確認しよう.

隣り合った項の差に注目すると,たとえば $X$ は12と予想できるので,第6項は $30+12=42$ と求めることができる.

階差数列の定義

数列 $\{a_n\}$ に対して

\[b_n=a_{n+1}-a_n\]

となる数列 $\{b_n\}$ を,数列 $\{a_n\}$ の階差数列 (progression of differences) という.

この例では,階差数列 $\{b_n\}$ は,初項4,公差2の等差数列になっているので

\[b_n=4+(n-1)\times2=2n+2\]

と表せる.

階差数列の定義

数列 $1,2,6,13,23,36$ の階差数列を書け.

階差数列 $\{b_n\}$ は

\begin{align} b_1&=a_2-a_1=2-1=1\\ b_2&=a_3-a_2=6-2=4\\ b_3&=a_4-a_3=13-6=7\\ b_4&=a_5-a_4=23-13=10\\ b_5&=a_6-a_5=36-23=13 \end{align}

よって,階差数列は $\{1,4,7,10,13\}$ で与えられる.