${\Sigma}k(k+1)(k+2)$ ($1$～$n$項まで)の求め方

一般項 $a_n$ が

\[a_n=n(n+1)(n+2)\tag{1}\label{k(k+1)(k+2)nowa}\]

で与えられる数列は，具体的に書くと

\begin{array}{c} \boxed{1}&\boxed{2}&\boxed{3}&\boxed{4}&\\ 1\cdot2\cdot3,&2\cdot3\cdot4,&3\cdot4\cdot5,&4\cdot5\cdot6,&\cdots \end{array}

となる．

この $\eqref{k(k+1)(k+2)nowa}$ のように，『3つの連続した数の積』で表される数列の，初項から第 $n$ 項までの和は次のように求めることができる．

$\text{STEP}1$

$a_n=n(n+1)(n+2)$ の3連続数に着目して， $n,n+1,n+2$ の $"続き"$ である $n+3$ を $a_n$ に掛けたものから， $n,n+1,n+2$ の $"1つ前"$ である $n-1$ を $a_n$ に掛けたものを引く

\begin{align} &\underbrace{n(n+1)(n+2)}_{a_n}(n+3)\\ &\qquad-(n-1)\underbrace{n(n+1)(n+2)}_{a_n} \end{align}

$\text{STEP}2$

共通因数 $n(n+1)(n+2)$ のかたまりを崩さないようにまとめ， $n(n+1)(n+2)$ について 解く．

\begin{align} &n(n+1)(n+2)(n+3)\\ &\qquad-(n-1)n(n+1)(n+2)\\ =&n(n+1)(n+2)\{(n+3)-(n-1)\}\\ =&4n(n+1)(n+2) \end{align}

よって

\begin{align} &n(n+1)(n+2)\\ =&\dfrac{1}{4}\{n(n+1)(n+2)(n+3)\\ &\qquad-(n-1)n(n+1)(n+2)\} \end{align}

$\text{STEP}3$

この関係式を利用して，初項から第 $n$ 項までの和を，具体的に書き出してみる．

\begin{align} &\sum_{k=1}^nk(k+1)(k+2)\\ =&\sum_{k=1}^n\bigg[\dfrac{1}{4}\{k(k+1)(k+2)(k+3)\\ &\qquad-(k-1)k(k+1)(k+2)\}\bigg]\\ =&\dfrac{1}{4}\sum_{k=1}^n\{k(k+1)(k+2)(k+3)\\ &\qquad-(k-1)k(k+1)(k+2)\}\\ =&\dfrac{1}{4}\big[(1\cdot2\cdot3\cdot4-0\cdot1\cdot2\cdot3)\\ &\qquad+(2\cdot3\cdot4\cdot5-1\cdot2\cdot3\cdot4)\\ &\qquad+(3\cdot4\cdot5\cdot6-2\cdot3\cdot4\cdot5)+\cdots\\ &\qquad+\{(n-1)n(n+1)(n+2)\\ &\qquad-(n-2)(n-1)n(n+1)\}\\ &\qquad+\{n(n+1)(n+2)(n+3)\\ &\qquad-(n-1)n(n+1)(n+2)\}\big] \end{align}

$\text{STEP}4$

相殺して消える部分ができるので，下のように消していくと，和が求まる．

以上，まとめておこう．