成分表示された平面ベクトルの加法

右図のような2 つのベクトルを考える．

\[\vec{a} =\overrightarrow{\text{AB}} = \left( \begin{array}{c} 5\\ −3\\ \end{array} \right) , \vec{b} =\overrightarrow{\text{BC}} = \left( \begin{array}{c} 2\\ 7\\ \end{array} \right)\]

いま，$\vec{a} + \vec{b} =\overrightarrow{\text{AC}}$ は右図より $\left( \begin{array}{c} 7\\ 4\\ \end{array} \right)$ となる．つまり

\[\left( \begin{array}{c} 5\\ −3\\ \end{array} \right) + \left( \begin{array}{c} 2\\ 7\\ \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 7\\ 4\\ \end{array} \right)\]

が成立する．

一般に，$\vec{a} = \left( \begin{array}{c} a_x\\ a_y\\ \end{array} \right)$ と $\vec{b} = \left( \begin{array}{c} b_x\\ b_y\\ \end{array} \right)$ の和$\vec{a} + \vec{b}$ は

\[\vec{a} + \vec{b} = \left( \begin{array}{c} a_x\\ a_y\\ \end{array} \right) + \left( \begin{array}{c} b_x\\ b_y\\ \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} a_x+b_x\\ a_y+b_y\\ \end{array} \right)\]

となる．

また，$\vec{a} = \left( \begin{array}{c} a_x\\ a_y\\ \end{array} \right)$ の逆ベクトルの成分表示は，右図より$−\vec{a} = \left( \begin{array}{c} −a_x\\ −a_y\\ \end{array} \right)$ となり，ゼロベクトルの成分表示は

\[\vec{0} = \vec{a} + (−\vec{a}) = \left( \begin{array}{c} a_x\\ a_y\\ \end{array} \right) + \left( \begin{array}{c} −a_x\\ −a_y\\ \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 0\\ 0\\ \end{array} \right)\]

となる．