ベクトルの平行条件

$\vec{0}$ でない2 つのベクトル$\vec{a}$ と$\vec{b}$ の向きが同じか，または反対であるとき，$\vec{a}$ と$\vec{b}$ は平行であるといい，$\boldsymbol{\vec{a} \parallel \vec{b}}$ と表す．

このとき，$\vec{a} = k\vec{b}$ となる実数$k $が存在する．逆に，$k \neq 0$ のとき，$\vec{a} = k\vec{b}$ ならば$\vec{a} \parallel \vec{b}$といえる．つまり

$\vec{a} \parallel \vec{b} \Longleftrightarrow \vec{a} = k\vec{b}$となる$k \in R$ が存在する

である．

また，成分表示された2 つのベクトル，$\vec{a} = \left( \begin{array}{c} a_x\\ a_y\\ \end{array} \right)$ と$\vec{b} = \left( \begin{array}{c} b_x\\ b_y\\ \end{array} \right)$ が平行であるとき

\[\left( \begin{array}{c} a_x\\ a_y\\ \end{array} \right) = k \left( \begin{array}{c} b_x\\ b_y\\ \end{array} \right) \Longleftrightarrow \left( \begin{array}{c} a_x\\ a_y\\ \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} kb_x\\ kb_y\\ \end{array} \right)\] \[\Longleftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a_x = kb_x\\ a_y = kb_y\\ \end{array} \right. \Longleftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} k =\dfrac{a_x}{b_x}\\ k =\dfrac{a_y}{b_y}\\ \end{array} \right.\]

より$(k =)\dfrac{a_x}{b_x}=\dfrac{a_y}{b_y}$，つまり

\[a_xb_y = a_yb_x\]

が成り立つ．この式は右上図のように，「① の積 = ②の積」と覚えておくとよい．