ベクトルの合成と分解

ベクトルの加法と減法で次の式を学習した．

\[\overrightarrow{\text{AB}} + \overrightarrow{\text{BC}} =\overrightarrow{\text{AC}}\] \[\overrightarrow{\text{OA}} − \overrightarrow{\text{OB}} =\overrightarrow{\text{BA}}\]

このように2 つ以上のベクトルを1 つのベクトルで表現することをベクトルの合成という．

またこれらの式を逆にみて

\[\overrightarrow{\text{AC}} =\overrightarrow{\text{AB}} + \overrightarrow{\text{BC}}\tag{1}\label{bekutorunogouseitobunkai1}\] \[\overrightarrow{\text{BA}} =\overrightarrow{\text{OA}} −\overrightarrow{\text{OB}}\tag{2}\label{bekutorunogouseitobunkai2}\]

1 つのベクトルを2 つ以上のベクトルで表現することをベクトルの分解という．

ベクトルの合成と分解の図その１

$\eqref{bekutorunogouseitobunkai1}$では経由点として点$\text{B}$ をとっているが，ベクトルの加法の定義を考えると，点$\text{B}$ でなくても任意の点でかまわないことがわかる．つまり

\[\overrightarrow{\text{AC}} =\overrightarrow{\text{A □}} +\overrightarrow{\text{□ C}}\]

として，□には好きな点を経由点としてとってよい．

同様にして，$\eqref{bekutorunogouseitobunkai2}$では始点として点$\text{ O}$ をとっているが，点$\text{ O }$でなくても任意の点でかまわないことがわかる．

つまり

\[\overrightarrow{\text{BA}} =\overrightarrow{\text{□ A}} −\overrightarrow{\text{□ B}}\]

として，□には好きな点を始点としてとってよい．

ベクトルの合成と分解

  1. 合成 $\overrightarrow{\text{A □}} + \overrightarrow{\text{□ B}} = \overrightarrow{\text{AB}}$

    $\overrightarrow{\text{□ B}} − \overrightarrow{\text{□ A}} = \overrightarrow{\text{AB}}$

  2. 分解 $\overrightarrow{\text{AB}} = \overrightarrow{\text{A □}} + \overrightarrow{\text{□ B}}$

    $\overrightarrow{\text{AB}} = \overrightarrow{\text{□ B}} −\overrightarrow{\text{□ A}}$

吹き出しベクトルの合成と分解

合成公式の第1 式と分解公式の第2 式はよく使うので覚えておこう．

ベクトルの加法

正六角形$\text{ ABCDEF}$ において，辺$\text{ DE}$ の中点を$\text{ M}$ とし，線分$\text{ AM }$の中点を$\text{ N}$，辺$\text{ BC}$の中点を$\text{ P }$とする．このとき，$\overrightarrow{\text{AM}}$ および$\overrightarrow{\text{NP}}$ を，$\overrightarrow{\text{AB}}，\overrightarrow{\text{AF}}$ を用いて表せ．

無題

無題

この正六角形の中心を$\text{ O}$ とする．

\begin{align} \overrightarrow{\text{AM}} &=\overrightarrow{\text{AD}} +\overrightarrow{\text{DM}} = 2\overrightarrow{\text{AO}} + \dfrac{1}{2}\overrightarrow{\text{DE}}\\ &= 2(\overrightarrow{\text{AB}} +\overrightarrow{\text{BO}}) − \dfrac{1}{2}\overrightarrow{\text{ED}}\\ &= 2(\overrightarrow{\text{AB}} +\overrightarrow{\text{AF}}) − \dfrac{1}{2}\overrightarrow{\text{AB}}\\ &=\left(2 − \dfrac{1}{2}\right) \overrightarrow{\text{AB}} + 2\overrightarrow{\text{AF}} \\ &=\boldsymbol{\dfrac{3}{2}\overrightarrow{\text{AB}} + 2\overrightarrow{\text{AF}}}\\ \overrightarrow{\text{NP}} &=\overrightarrow{\text{AP}} −\overrightarrow{\text{AN}} =\left(\overrightarrow{\text{AB}} + \overrightarrow{\text{BP}} − \dfrac{1}{2}\overrightarrow{\text{AM}}\right)\\ &=\overrightarrow{\text{AB}} + \dfrac{1}{2}(\overrightarrow{\text{AB}} + \overrightarrow{\text{AF}}) \\ &\ \qquad − \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{3}{2}\overrightarrow{\text{AB}} + 2\overrightarrow{\text{AF}}\right)\\ &=\left(1 + \dfrac{1}{2}− \dfrac{3}{4}\right)\overrightarrow{\text{AB}} +\left(\dfrac{1}{2}− 1\right) \overrightarrow{\text{AF}}\\ &=\boldsymbol{\dfrac{3}{4}}\overrightarrow{\boldsymbol{\text{AB}}} − \boldsymbol{\dfrac{1}{2}}\overrightarrow{\boldsymbol{\text{AF}}} \end{align}