内分点の位置ベクトル

右図のように，点$\text{ O}$ に関して2 点，$\text{ A}(\vec{a})，\text{ B}(\vec{b})$ をとるとき，線分$\text{ AB}$ を$m : n$ の比に内分する点$\text{ X}$ の位置ベクトルである$\vec{x}$ は，$\vec{a}，\vec{b}，m，n $を用いて次のように表すことができる．

\begin{align} \vec{x} &=\overrightarrow{\text{OX}}\\ &=\overrightarrow{\text{OA}} + \overrightarrow{\text{AX}}\\ &\qquad \because ベクトルの分解\\ &=\overrightarrow{\text{OA}} + \dfrac{m}{m + n}\overrightarrow{\text{AB}} \\ &\qquad \because ベクトルの伸縮\\ &=\overrightarrow{\text{OA}} + \dfrac{m}{m + n}\left(\overrightarrow{\text{OB }}−\overrightarrow{\text{OA}}\right) \\ &\qquad \because 始点を\text{ O} にする\\ &=\left(1 − \dfrac{m}{m + n}\right) \overrightarrow{\text{OA}} + \dfrac{m}{m + n}\overrightarrow{\text{OB}}\\ &= \dfrac{n}{m + n}\overrightarrow{\text{OA}} +\dfrac{m}{m + n}\overrightarrow{\text{OB}}\\ &= \dfrac{n\overrightarrow{\text{OA}} + m\overrightarrow{\text{OB}}}{m + n} = \dfrac{n\vec{a} + m\vec{b}}{m + n} \end{align}