外分点の位置ベクトル

無題

無題 （注）

右図のように，点$\text{O}$ に関して2 点，$\text{A}(\vec{a})，\text{B}(\vec{b})$ をとるとき，線分$\text{AB}$ を$m : n$ の比に外分する点$\text{X}$ の位置ベクトルである$\vec{x}$ は，$\vec{a}，\vec{b}，m，n$ を用いて次のように表すことができる．

\begin{align} \vec{x} &=\overrightarrow{\text{OX}}\\ &=\overrightarrow{\text{OA}} + \overrightarrow{\text{AX}}\\ &\qquad \because ベクトルの分解\\ &=\overrightarrow{\text{OA}} + \dfrac{m}{m - n}\overrightarrow{\text{AB}}\\ &\qquad \because ベクトルの伸縮\\ &=\overrightarrow{\text{OA}} + \dfrac{m}{m - n}\left(\overrightarrow{\text{OB }}−\overrightarrow{\text{OA}}\right)\\ &\qquad \because 始点をO にする\\ &=\left(1 − \dfrac{m}{m - n}\right) \overrightarrow{\text{OA }}+ \dfrac{m}{m - n}\overrightarrow{\text{OB}}\\ &=\dfrac{-n}{m - n}\overrightarrow{\text{OA }}+ \dfrac{m}{m - n}\overrightarrow{\text{OB}}\\ &=\dfrac{−n\overrightarrow{\text{OA}} + m\overrightarrow{\text{OB}}}{m - n} = \dfrac{−n\vec{a} + m\vec{b}}{m - n} \end{align}

外分点の位置ベクトル

2 点$\text{A}(\vec{a})，\text{B}(\vec{b})$ を結ぶ線分$\text{AB}$ を$m : n$ の比に外分する点$\text{X}(\vec{x})$ において，$\vec{x}$ は

\[\vec{x} =\dfrac{−n\vec{a} + m\vec{b}}{m - n}\]

と表すことができる．

無題

無題 （注）

この式は，「$m : n$ に外分すること」は「$m : −n$ に内分すること」と等しいと覚えるとよい．また，$\vec{x} =\dfrac{−n\vec{a} + m\vec{b}}{m - n}$は分母・分子に$−1$ をかけることにより

\[\vec{x} =\dfrac{−(−n\vec{a} + m\vec{b})}{−(m − n)} = \dfrac{n\vec{a} − m\vec{b}}{n - m}\]

とも書けるので，「$−m : n$ に内分すること」とも等しいことがわかる．

内分点・外分点の座標

原点を$\text{O}(0, 0)$ とする座標平面上に2 点$\text{A}(a_x, a_y)，\text{B}(b_x, b_y)$ があり，線分$\text{AB}$ を$m : n$ に内分する点を$\text{X}$ とするとき，点$\text{X}$ の座標を求めよ．

また，線分$\text{AB}$ を$m : n$ に外分する点を$\text{Y}$ とするとき，点$\text{Y}$ の座標を求めよ．

内分点の位置ベクトルの式から

\[\overrightarrow{\text{OX}} = \dfrac{n\overrightarrow{\text{OA}} + m\overrightarrow{\text{OB}}}{m + n}\] \[= \dfrac{n}{m + n}\overrightarrow{\text{OA}} +\dfrac{ m}{m + n}\overrightarrow{\text{OB}}\]

であり，これに$\overrightarrow{\text{OA }}=\dbinom{a_x}{a_y}，\overrightarrow{\text{OB}} =\dbinom{b_x}{b_y}$を用いて

\begin{align} \overrightarrow{\text{OX}} &= \dfrac{n}{m + n}\dbinom{a_x}{a_y}+\dfrac{m}{m + n}\dbinom{b_x}{b_y}\\ &= \dfrac{1}{m + n}\dbinom{na_x}{na_y}+ \dfrac{1}{m + n} \dbinom{mb_x}{mb_y}\\ &= \dfrac{1}{m + n} \dbinom{na_x + mb_x}{na_y + mb_y} \end{align}

よって，点$\text{X}$ の座標は$ \boldsymbol{\left( \dfrac{na_x + mb_x}{m + n} , \dfrac{na_y + mb_y}{m + n} \right)}$ となる．

また，外分点の位置ベクトルの式から

\[\overrightarrow{\text{OY}} =\dfrac{−n\overrightarrow{\text{OA}} + m\overrightarrow{\text{OB}}}{m – n}\] \[ =\dfrac{−n}{m – n}\overrightarrow{\text{OA }}+ \dfrac{m}{m – n}\overrightarrow{\text{OB }}\] $\blacktriangleleft$ 「$m : n$ に外分」は「$m : −n$ に内分」することと同じ

であり，これに$\overrightarrow{\text{OA}} =\dbinom{a_x}{a_y}，\overrightarrow{\text{OB}} =\dbinom{b_x}{b_y}$を用いて

\begin{align} \overrightarrow{\text{OX}} &=\dfrac{-n}{m – n}\dbinom{a_x}{a_y}+ \dfrac{m}{m – n}\dbinom{b_x}{b_y}\\ &=\dfrac{1}{m – n}\dbinom{-na_x}{-na_y}+ \dfrac{1}{m – n} \dbinom{mb_x}{mb_y}\\ &= \dfrac{1}{m – n} \dbinom{−na_x + mb_x}{−na_y + mb_y} \end{align}

よって，点$\text{Y}$ の座標は$\boldsymbol{\left( \dfrac{−na_x + mb_x}{m – n} ,\dfrac{−na_y + mb_y}{m – n}\right)}$ となる．

上の例題の結果は，FTEXT数学II の『図形と方程式』でみた結果と一致する．

3 点が一直線上にある条件

$\triangle \text{ABC}$ の辺$\text{AB}$ を$1 : 2$ に内分する点を$\text{P}$，辺$\text{BC}$ を$3 : 1$ に外分する点を$\text{Q}$，辺$\text{CA}$を$2 : 3$ に内分する点を$\text{R}$ とするとき．3 点$\text{P}，\text{Q}，\text{R}$ は一直線上にあることを示せ．

無題

無題

【証明】

$\overrightarrow{\text{AB}} = \vec{b}，\overrightarrow{\text{AC}} = \vec{c}$ とおくと，$\overrightarrow{\text{AP}} = \dfrac{1}{3}\vec{b}$，$\overrightarrow{\text{AQ}} =\dfrac{−\vec{b} + 3\vec{c}}{3 – 1} =\dfrac{−\vec{b} + 3\vec{c}}{2}$，$\overrightarrow{\text{AR}} = \dfrac{3}{5}\vec{c} $と表すことができる．

よって

\begin{align} \overrightarrow{\text{PQ}} &=\overrightarrow{\text{AQ}} −\overrightarrow{\text{AP}} = − \dfrac{5}{6}\vec{b} + \dfrac{3}{2}\vec{c}\\ \overrightarrow{\text{PR}} &=\overrightarrow{\text{AR}} −\overrightarrow{\text{AP}} = − \dfrac{1}{3}\vec{b} + \dfrac{3}{5}\vec{c} \end{align}

以上より，$\overrightarrow{\text{PR}} = \dfrac{2}{5}\overrightarrow{\text{PQ}}$ であり，$\text{P}，\text{Q}，\text{R}$ は同一直線上にある．

重心の位置ベクトル

$\triangle \text{ABC}$ の重心を$\text{G}$ とする．

  1. $\overrightarrow{\text{AG}} $を$\overrightarrow{\text{AB}}$ と$\overrightarrow{\text{AC}}$ を用いて表せ．
  2. ある基準点$\text{O}$ からの位置ベクトルが，$\text{A}(\vec{a})，\text{B}(\vec{b})，\text{C}(\vec{c})$ となるとき，重心の位置ベクトル$\text{G}(\vec{g})$ を$\vec{a}，\vec{b}，\vec{c}$ で表せ．

  1. 辺$\text{BC}$ の中点を$\text{M}$ とおくと，重心の定義より$\text{BM} :\text{CM} = 1 : 1$ であるから

    \[\overrightarrow{\text{AM}} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{\text{AB}} + \dfrac{1}{2}\overrightarrow{\text{AC}}\]

    また，重心の性質より$\text{AG} : \text{GM} = 2 : 1 $であるから

    \begin{align} \overrightarrow{\text{AG}} &= \dfrac{2}{3}\overrightarrow{\text{AM}}\\ &= \dfrac{2}{3}\left(\dfrac{1}{2}\overrightarrow{\text{AB }}+ \dfrac{1}{2}\overrightarrow{\text{AC}}\right)\\ &= \dfrac{1}{3}\overrightarrow{\text{AB}} + \dfrac{1}{3}\overrightarrow{\text{AC}} \end{align}

    よって，$\overrightarrow{\text{AG}} =\boldsymbol{\dfrac{1}{3}}\overrightarrow{\text{AB}} + \boldsymbol{\dfrac{1}{3}}\overrightarrow{\text{AC}} $となる．

  2. $\overrightarrow{\text{OG }}=\overrightarrow{\text{OA }}+\overrightarrow{\text{AG}}$ であるから

    \begin{align} \overrightarrow{\text{OG}} &= \vec{a} + \dfrac{1}{3}\overrightarrow{\text{AB }}+ \dfrac{1}{3}\overrightarrow{\text{AC}}\\ &= \vec{a} + \dfrac{1}{3}\left(\vec{b} − \vec{a}\right)+ \dfrac{1}{3}\left(\vec{c} − \vec{a}\right)\\ &= \dfrac{1}{3}\vec{a} + \dfrac{1}{3}\vec{b} + \dfrac{1}{3}\vec{c} \end{align}

    よって，$\boldsymbol{\vec{g} =\dfrac{1}{3}\vec{a} + \dfrac{1}{3}\vec{b} + \dfrac{1}{3}\vec{c}}$となる．

内心の位置ベクトル

$\text{AB} = c，\text{BC} = a，\text{CA} = b$ である$\triangle \text{ABC}$ の内心を$\text{I}$ とする．

  1. $\overrightarrow{\text{AI}}$ を$\overrightarrow{\text{AB }}$と$\overrightarrow{\text{AC }}$を用いて表せ．
  2. ある基準点$\text{O}$ からの位置ベクトルが，$\text{A}(\vec{a})，\text{B}(\vec{b})，\text{C}(\vec{c})$ となるとき，内心の位置ベクトル$\text{I}(\vec{i})$ を$\vec{a}，\vec{b}，\vec{c}$ で表せ．

  1. 直線$\text{AI }$と線分$\text{BC}$ の交点を$\text{D} $とすると，内心の定義より$\angle\text{BAD} = \angle\text{CAD} $である．よって，角の二等分線の定理より$\text{BD} : \text{DC} = c : b$ となるから

    \[\overrightarrow{\text{AD }}= \dfrac{b}{b + c}\overrightarrow{\text{AB}} + \dfrac{c}{b + c}\overrightarrow{\text{AC}}\]

    であり

    \[\text{BD} = \dfrac{c}{b + c}\cdot a = \dfrac{ac}{b + c}\]

    である．

    また，内心の定義より$\angle\text{ABI} = \angle\text{DBI}$ である．よって，角の二等分線の定理より

    \[\text{AI} : \text{ ID} = \text{AB} : \text{BD}\] \[ = c : \dfrac{ac}{b + c} = b + c : a\]

    である．

    以上より

    \begin{align} \overrightarrow{\text{AI}} &= \dfrac{\text{AI}}{\text{AD}}\overrightarrow{\text{AD}}\\ &= \dfrac{b + c}{a + b + c}\\ &\qquad \cdot \left(\dfrac{b}{b + c}\overrightarrow{\text{AB }}+ \dfrac{c}{b + c}\overrightarrow{\text{AC}}\right)\\ &=\dfrac{b}{a + b + c}\overrightarrow{\text{AB}} + \dfrac{ c}{a + b + c}\overrightarrow{\text{AC}} \end{align} よって，$\boldsymbol{\overrightarrow{\text{AI}} =\dfrac{b}{a + b + c}\overrightarrow{\text{AB}} + \dfrac{ c}{a + b + c}\overrightarrow{\text{AC}}}$となる．

  2. $\overrightarrow{\text{OI }}=\overrightarrow{\text{OA}} +\overrightarrow{\text{AI}} $であるから

    \begin{align} \overrightarrow{\text{OI}} &= \vec{a} + \dfrac{b}{a + b + c}\overrightarrow{\text{AB}} + \dfrac{ c}{a + b + c}\overrightarrow{\text{AC}}\\ &= \vec{a} +\dfrac{ b}{a + b + c}\left(\vec{b} − \vec{a}\right)\\ &\qquad + \dfrac{ c}{a + b + c}\left(\vec{c} − \vec{a}\right)\\ &=\dfrac{a}{a + b + c}\vec{a} + \dfrac{b}{a + b + c}\vec{b} \\ &\qquad \qquad \qquad + \dfrac{ c}{a + b + c}\vec{c} \end{align}

    よって

    \[\boldsymbol{\vec{i} =\dfrac{a}{a + b + c}\vec{a}+ \dfrac{b}{a + b + c}\vec{b}}\] \[\qquad \qquad \qquad \boldsymbol{+ \dfrac{ c}{a + b + c}\vec{c}}\]

    となる．