直線の通る1点と法線ベクトルが与えられたとき

無題

無題

点$\text{A}(\vec{a})$ を通り$\vec{0}$ でない$\vec{n}$ に垂直な直線を$l$ とする．このとき，この直線上を動く点$\text{P}$の位置ベクトル$\vec{p}$ の表し方を考えよう．

まず，点$\text{P}$ が直線$l$ 上にある限り，必ず$\overrightarrow{\text{AP}}\perp\vec{n}$ であるから，ベクトルの垂直条件 より

\[\overrightarrow{\text{AP}} \cdot \vec{n} = 0\]

となる．

ここで，$\overrightarrow{\text{AP}} = \vec{p} − \vec{a}$ であるから

\[\overrightarrow{\text{AP}} \cdot \vec{n} = 0\]

つまり

\[(\vec{p} − \vec{a}) \cdot \vec{n} = 0 \tag{1}\label{chokusennotooru1tentohousenbekutorugaataeraretatoki1}\]

が成り立つ．

この$\eqref{chokusennotooru1tentohousenbekutorugaataeraretatoki1}$のことを，「点$\text{A}(\vec{a})$ を通り$\vec{n}$ に垂直な直線のベクトル方程式」という．また，$\vec{n}$を，この直線の法線ベクトル(normal vector) という．

次に，座標平面上で成分表示されたベクトルのベクトル方程式を考えてみよう．

点$\text{A}(x_0, y_0)$ を通り，法線ベクトルが$\vec{n} =\dbinom{n_x}{n_y}$である直線上の点$\text{P}$ の座標を$\text{P} (x, y)$ とおくと，$\vec{a} =\dbinom{x_0}{y_0}，\vec{p} =\dbinom{x}{y}$であるから，$\eqref{chokusennotooru1tentohousenbekutorugaataeraretatoki1}$より

\begin{align} &(\vec{p} − \vec{a}) \cdot \vec{n} = 0\\ &\Leftrightarrow \left\{ \dbinom{x}{y}-\dbinom{x_0}{y_0} \right\} \cdot \dbinom{n_x}{n_y}= 0\\ &\Leftrightarrow \dbinom{ x − x_0}{ y − y_0} \cdot \dbinom{n_x}{n_y}= 0\\ &\Leftrightarrow n_x(x − x_0) + n_y(y − y_0) = 0 \end{align}

と表せる．

ここで，$n_x$ を$a，n_y$ を$b，−(n_xx_0 + n_yy_0)$ を$c$ とおけば，この式は

\[ax + by + c = 0\]

と書きなおされ，これはの直線の方程式として，FTEXT数学II『図形と方程式』ですでに学んだものと一致している．

また，このことから，直線$ax + by + c = 0$ の法線ベクトルの1 つとして$\dbinom{a}{b}$が拾える．

直線のベクトル方程式～その３～

次のそれぞれについて，点$\text{A}$ を通り法線ベクトルを$\vec{n}$ とする直線の方程式を求めよ．

  1. $\text{A}(2, 1)，\vec{n} =\dbinom{4}{3}$
  2. $\text{A}(4, 0)，\vec{n} =\dbinom{-3}{2}$
  3. $\text{A}(-1, 3)，\vec{n} =\dbinom{2}{0}$
  4. $\text{A}(-2, 1)，\vec{n} =\dbinom{0}{-3}$

直線$l$ 上を動く点$\text{P}$ の座標を$(x, y)$ とおく．

  1. \begin{align} &\overrightarrow{\text{AP}} \cdot \vec{n} = 0\\ &\Leftrightarrow \dbinom{ x − 2}{ y − 1} \cdot \dbinom{4}{3}=0\\ &\Leftrightarrow 4(x − 2) + 3(y − 1) = 0\\ &\Leftrightarrow \boldsymbol{4x + 3y − 11 = 0} \end{align}
  2. \begin{align} &\overrightarrow{\text{AP}} \cdot \vec{n} = 0\\ &\Leftrightarrow \dbinom{ x − 4}{ y } \cdot \dbinom{-3}{2}=0\\ &\Leftrightarrow − 3(x − 4) + 2y = 0\\ &\Leftrightarrow \boldsymbol{3x − 2y − 12 = 0} \end{align}
  3. \begin{align} &\overrightarrow{\text{AP}} \cdot \vec{n} = 0\\ &\Leftrightarrow \dbinom{ x – (-1)}{ y − 3} \cdot \dbinom{2}{0}=0\\ &\Leftrightarrow 2(x + 1) + 0(y − 3) = 0\\ &\Leftrightarrow \boldsymbol{x+1 = 0} \end{align}
  4. \begin{align} &\overrightarrow{\text{AP}} \cdot \vec{n} = 0\\ &\Leftrightarrow \dbinom{ x – (-2)}{ y − 1} \cdot \dbinom{0}{-3}=0\\ &\Leftrightarrow 0(x + 2) − 3(y − 1) = 0\\ &\Leftrightarrow \boldsymbol{y − 1 = 0} \end{align}

点と直線の距離の公式

無題

無題

直線$l : ax + by + c = 0$ と点$\text{A}(x_0, y_0)$ との距離$d$ を求めよ．

点と直線の距離の公式の解答の図その１

直線$l$ 上の点を$\text{P}(x_1, y_1)$ とおくと，$\text{P}$ の座標に関して

\[ax_1 + by_1 + c = 0 \tag{1}\label{tentochokusennokyorinokoushiki}\]

が成り立つ．

いま，$\overrightarrow{\text{PA}}$ を$\vec{n}$ に正射影したベクトル$_{\overrightarrow{\text{PA}}\rightarrow}\vec{n}$ は，$\overrightarrow{\text{HA}}$と等しいので，この$_{\overrightarrow{\text{PA}}\rightarrow}\vec{n}$ の大きさが$d$ となる． \begin{align} _{\overrightarrow{\text{PA}}\rightarrow}\vec{n} &=\dfrac{\overrightarrow{\text{PA}} \cdot \vec{n}}{\left|\vec{n}\right|^2}\vec{n} \\ &\blacktriangleleft 正射影ベクトルの内積での表し方\\ &=\dfrac{\dbinom{ x_0 − x_1}{ y_0 − y_1}\cdot \dbinom{a}{b}}{a^2 + b^2}\dbinom{a}{b}\\ &=\dfrac{ a(x_0 − x_1) + b(y_0 − y_1)}{ a^2 + b^2}\dbinom{a}{b}\\ &=\dfrac{ ax_0 + by_0 − ax_1 − by_1}{ a^2 + b^2}\dbinom{a}{b}\\ &=\dfrac{ ax_0 + by_0 + c }{ a^2 + b^2}\dbinom{a}{b}\\ &\blacktriangleleft \eqref{tentochokusennokyorinokoushiki}を使った \end{align}

よって

\begin{align} \left|_{\overrightarrow{\text{PA}}\rightarrow}\vec{n}\right| &=\left|\dfrac{ ax_0 + by_0 + c }{ a^2 + b^2}\right|\sqrt{ a^2 + b^2}\\ &=\dfrac{\left| ax_0 + by_0 + c \right|}{ a^2 + b^2}\sqrt{ a^2 + b^2}\\ &=\dfrac{\left| ax_0 + by_0 + c \right|}{ \sqrt{ a^2 + b^2}} \end{align}

つまり，$\boldsymbol{d =\dfrac{\left| ax_0 + by_0 + c \right|}{ \sqrt{ a^2 + b^2}}}$となる．

ここで，直線のベクトル方程式をまとめておこう．

直線のベクトル方程式

$\overrightarrow{\text{OA}} = \vec{a}$，$\overrightarrow{\text{OB}} = \vec{b}$，$\overrightarrow{\text{OD}} = \vec{d}$，$\overrightarrow{\text{OP}} = \vec{p}$ とし，$\text{P}$ は直線上の任意の点で，$s，t$ は実数の変数，$\vec{n} \neq \vec{0}$ とする．

  1. 点$\text{A}$ を通り，$\text{OD}$に平行な直線

    \[\vec{p} = \vec{a} + t\vec{d}\]

  2. 2 点$\text{A}，\text{B}$ を通る直線

    \[\vec{p} = (1 − t)\vec{a} + t\vec{b}\] または \[\vec{p} = s\vec{a} + t\vec{b} (s + t = 1)\]

  3. 点$\text{A}$ を通り，$\vec{n}$ に垂直な直線

    \[(\vec{p} − \vec{a}) \cdot \vec{n} = 0\]