直線の通る2点が与えられたとき

異なる2 点$\text{A}(\vec{a})，\text{B}(\vec{b}) $を通る直線を$l$ とする．このとき，$l$ は点$\text{A}(\vec{a})$ を通り，方向ベクトルが$\vec{d} =\overrightarrow{\text{AB}} = \vec{b}−\vec{a}$の直線であるから，$l$ 上の点$\text{P}(\vec{p})$ に関するベクトル方程式は，前のセクション、「直線の通る1 点と方向ベクトルが与えられたとき」の$\vec{p} = \vec{a} + t\vec{d} $より

\begin{align} \vec{p} &= \vec{a} + t(\vec{b} − \vec{a})\\ \Leftrightarrow \vec{p} &= (1 − t)\vec{a} + t\vec{b} \tag{1}\label{chokusennotooru2tengaataeraretatoki1} \end{align}

となる．

直線のベクトル方程式～その２～

点$\text{O}$ に関する位置ベクトルを$\text{A}(\vec{a})，\text{B}(\vec{b})$ とする．以下のそれぞれについて，直線$l$上の点$\text{P}(\vec{p})$ に関するベクトル方程式を適当な実数$t$ を用いて表せ．

直線のベクトル方程式～その２～の図その１直線のベクトル方程式～その２～の図その２

  1. 線分$\text{OA}$ を$2 : 1$ に内分する点を$\text{C}$ とおくと，$\overrightarrow{\text{OC}} =\dfrac{2}{3}\overrightarrow{\text{OA}} = \dfrac{2}{3}\vec{a}$ であるから

    \[\overrightarrow{\text{OP}} = (1 − t)\overrightarrow{\text{OC}} + t\overrightarrow{\text{OB}}\] $\blacktriangleleft \qquad \eqref{chokusennotooru2tengaataeraretatoki1}$を使った

    つまり

    \[\boldsymbol{\vec{p} =\dfrac{2(1 − t)}{3}\vec{a} + t\vec{b}}\]

    と表せる．

  2. 線分$\text{OA}$ を$2 : 5$ に外分する点を$\text{C}$，線分$\text{OB}$ を$3 : 1$に内分する点を$\text{D}$ とおくと，$\overrightarrow{\text{OC}} = − \dfrac{2}{3}\overrightarrow{\text{OA}} = − \dfrac{2}{3}\vec{a}$,$\overrightarrow{\text{OD}} = \dfrac{3}{4}\overrightarrow{\text{OB}} = \dfrac{3}{4}\vec{b}$ であるから

    \[\overrightarrow{\text{OP}} = (1 − t)\overrightarrow{\text{OC}} + t\overrightarrow{\text{OB}} \] $\blacktriangleleft \qquad \eqref{chokusennotooru2tengaataeraretatoki1}$を使った

    つまり

    \[\boldsymbol{\vec{p} =\dfrac{-2(1 − t)}{3}\vec{a} + \dfrac{3t}{4}\vec{b}}\]

    と表せる．

    ここで，$\eqref{chokusennotooru2tengaataeraretatoki1}$ \[\vec{p} = (1 − t)\vec{a} + t\vec{b}\]

    は，$1 − t = s$ とおくことにより

    \[\vec{p} = s\vec{a} + t\vec{b} (s + t = 1) \tag{2}\label{chokusennobekutoruhouteishikisono21}\]

    と表すこともできる．この$s, t$ に適当な条件をつけることにより，半直線や領域などを表すベクトル方程式をつくることができる．

1 次結合で表された位置ベクトルの軌跡

無題

無題

点$\text{O}$ に関する位置ベクトルを$\text{A}(\vec{a})，\text{B}(\vec{b})$ とし，点$\text{P}$が \[\overrightarrow{\text{OP}} = s\vec{a} + t\vec{b}\] を満たし動くものとする．以下の場合について，点$\text{P}$の動く範囲を図示せよ．

  1. $ s > 0$ かつ$t > 0 $
  2. $ s < 0$ かつ$t > 0$
  3. $ \dfrac{5}{2}s + \dfrac{2}{3}t = 1 $
  4. $ s + t = \dfrac{2}{3}$
  5. $ s > 0 $かつ$t > 0 $かつ$s + t < 1$

    1 次結合で表された位置ベクトルの軌跡の図その１

  1. まず，$s$ をある定数$s’ (> 0) $で固定し

    \[\overrightarrow{\text{OP}} = s’\vec{a} + t\vec{b} (t > 0)\]

    を考えると，点$\text{P}$は右図の半直線上にある．

    よって，$s$ を動かすと答えは下図網掛け部分となる．

    1 次結合で表された位置ベクトルの軌跡の図その２
    2. 1 次結合で表された位置ベクトルの軌跡の図その３

  2. まず，$s$ をある定数$s’ (> 0) $で固定し

    \[\overrightarrow{\text{OP}} = s’\vec{a} + t\vec{b} (t > 0)\]

    を考えると，点$\text{P}$は右図の半直線上にある．

    よって，$s$ を動かすと答えは下図網掛け部分となる．

    1 次結合で表された位置ベクトルの軌跡の図その４

  3. $\overrightarrow{\text{OP}} = s\vec{a} + t\vec{b}$ は

    \begin{align} \overrightarrow{\text{OP}} &= s\vec{a} + t\vec{b}\\ \Leftrightarrow \overrightarrow{\text{OP}} &= \dfrac{5s}{2}\left(\dfrac{2}{5}\vec{a}\right) + \dfrac{2t}{3}\left(\dfrac{3}{2}\vec{b}\right) \end{align}

    と変形でき，条件より$\dfrac{5s}{2}+\dfrac{2t}{3}= 1 $であるから，答えは下図の直線部分となる．

    1 次結合で表された位置ベクトルの軌跡の図その５

  4. $\overrightarrow{\text{OP}} = s\vec{a} + t\vec{b}$ は

    \begin{align} \overrightarrow{\text{OP}} &= s\vec{a} + t\vec{b}\\ \Leftrightarrow \overrightarrow{\text{OP}} &= \dfrac{3s}{2}\left(\dfrac{2}{3}\vec{a}\right) + \dfrac{3t}{2}\left(\dfrac{2}{3}\vec{b}\right) \end{align}

    と変形でき，条件より$\dfrac{3s}{2}+\dfrac{3t}{2}= 1 $であるから，答えは下図の直線部分となる．

    1 次結合で表された位置ベクトルの軌跡の図その６
    5. 1 次結合で表された位置ベクトルの軌跡の図その７

  5. まず，条件より$s > 0, t > 0$ であるから，点$\text{P}$ は1.で求めた領域内にあることが必要．

    次に，$s+t$ の値を$k (< 1)$ で固定する，つまり$s+t = k$とすると，条件より$s > 0, t > 0$ であるから$k \neq 0$ なので

    \[s + t = k\] \[\Leftrightarrow \dfrac{s}{k} + \dfrac{t}{k}= 1\]

    となり，$\overrightarrow{\text{OP}} = s\vec{a} + t\vec{b}$ は

    \begin{align} \overrightarrow{\text{OP}} &= s\vec{a} + t\vec{b}\\ \Leftrightarrow \overrightarrow{\text{OP}} &= \dfrac{s}{k}\left(k\vec{a}\right)+ \dfrac{t}{k}\left(k\vec{b}\right) \end{align}

    と変形できるので，点$\text{P}$ は右上図の線分上を動く．

    よって，$s + t$ の値を動かすと答えは下図網掛け部分となる．

    1 次結合で表された位置ベクトルの軌跡の図その８