ベクトルの1次独立の定義（空間）
2 つの$\vec{a}，\vec{b}$ が1 次独立であることの定義は，「ベクトルの1 次独立の定義」で見たように
\[s\vec{a} + t\vec{b} = \vec{0}\]を満たす実数$s，t$ が$s = t = 0$ のときに限る，ことであった．
ここでは，これを拡張して，3 つの$\vec{a}，\vec{b}，\vec{c}$ に関する1 次独立を次のように定義する．
1 次独立の定義
「$\vec{a}，\vec{b}，\vec{c}$ が1 次独立である」とは
\[s\vec{a} + t\vec{b} + u\vec{c} = \vec{0}\]を満たす実数$s，t，u$ が$s = t = u = 0 $のときに限る，ことである．
たとえば，右図のように空間内にある$\vec{a}，\vec{b}，\vec{c}$では
\[s\vec{a} + t\vec{b} + u\vec{c} = \vec{0}\]となる$s，t$ は$s = t = u = 0$ のときに限られるので，$\vec{a}，\vec{b}，\vec{c}$ は1 次独立である．
また，左図のように同一平面上にある$\vec{a}，\vec{b}，\vec{c}$（$\vec{c} = \vec{a} + 2\vec{b}$ を満たす）では，$s = t = u = 0$ のとき以外に も，たとえば$s = −1，t = −2，u = 1$ のときや，$s = 2， t = 4，u = −2$ のときも
\[s\vec{a} + t\vec{b} + u\vec{c} = \vec{0}\]を満たすので，$\vec{a}，\vec{b}，\vec{c}$ は1 次独立であるとはいえない．
つまり，次のようなことがいえる．
1 次独立なベクトルと平行でないベクトル
$\vec{a}，\vec{b}，\vec{c}$ が1 次独立であるならば，$\vec{a}，\vec{b}，\vec{c}$ は同一平面内にない．逆に，$\vec{a}，\vec{b}，\vec{c}$ が同一平面になければ，$\vec{a}，\vec{b}，\vec{c}$ は1 次独立である．
つまり
「$\vec{a}$ と $\vec{b}$ が1次独立」 $\Longleftrightarrow$ $\vec{a}$、$\vec{b}$、$\vec{c}$ が同一平面内にない
である．
証明は省略．