外積の成分表示
成分表示された2 つのベクトル，$\vec{a} = \left( \begin{array}{c} a_x\\ a_y\\ a_z\\ \end{array} \right) ，\vec{b} = \left( \begin{array}{c} b_x\\ b_y\\ b_z\\ \end{array} \right)$ の外積について考えてみよう．
まず，$\vec{a}，\vec{b}$ は$\vec{e_x} = \left( \begin{array}{c} 1\\ 0\\ 0\\ \end{array} \right) ，\vec{e_y} = \left( \begin{array}{c} 0\\ 1\\ 0\\ \end{array} \right) ，\vec{e_z} = \left( \begin{array}{c} 0\\ 0\\ 1\\ \end{array} \right)$ を用いて
\[\vec{a} =a_x \vec{e_x} + a_y \vec{e_y} + a_z \vec{e_z}\] \[\vec{b} =b_x \vec{e_x} + b_y \vec{e_y} + b_z \vec{e_z}\]と分解できる．
$\vec{e_x} \times \vec{e_x} = \vec{0}$，$\vec{e_y} \times \vec{e_y} = \vec{0}$，$\vec{e_z} \times \vec{e_z} = \vec{0}$ であることに注意して，$\vec{a} \times \vec{b}$ を計算していくと
\begin{align} &\vec{a} \times \vec{b}\\ &=(a_x \vec{e_x} + a_y \vec{e_y} + a_z \vec{e_z}) \times (b_x \vec{e_x} + b_y \vec{e_y} + b_z \vec{e_z})\\ &=a_xb_y( \vec{e_x} \times \vec{e_y}) + a_xb_z( \vec{e_x} \times \vec{e_z})\\ &+ a_yb_x(\vec{e_y} \times \vec{e_x}) + a_yb_z(\vec{e_y} \times \vec{e_z})\\ &+ a_zb_x(\vec{e_z} \times \vec{e_x}) + a_zb_y(\vec{e_z} \times \vec{e_y})\\ &=a_xb_y(\vec{e_z}) + a_xb_z(−\vec{e_y}) \\ &+ a_yb_x(−\vec{e_z}) + a_yb_z( \vec{e_x}) \\ &+ a_zb_x(\vec{e_y}) + a_zb_y(−\vec{e_x})\\ &=(a_yb_z − a_zb_y) \vec{e_x} + (a_zb_x − a_xb_z)\vec{e_y}\\ & + (a_xb_y − a_yb_x)\vec{e_z} \end{align}となるので
\[\left( \begin{array}{c} a_x\\ a_y\\ a_z\\ \end{array} \right) \times \left( \begin{array}{c} b_x\\ b_y\\ b_z\\ \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} a_yb_z − a_zb_y\\ a_zb_x − a_xb_z\\ a_xb_y − a_yb_x\\ \end{array} \right)\]が成立する．
外積の成分計算
$\vec{a} = \left( \begin{array}{c} −2\\ 1\\ 5\\ \end{array} \right) ，\vec{b} = \left( \begin{array}{c} −1\\ −4\\ 3\\ \end{array} \right)$ とする．
- $\vec{a} \times \vec{b}$ を成分で表せ．
- $\vec{a} \times \vec{b}$ が$\vec{a}，\vec{b}$ それぞれと垂直になっていることを，内積を計算することによって確かめよ．
-
\begin{align}
x 成分&: 1 \cdot 3 − (−4) \cdot 5 = 23\\
y 成分&: 5 \cdot (−1) − 3 \cdot (−2) = 1 \\
z 成分&: (−2) \cdot (−4) − (−1) \cdot 1 = 9
\end{align}
\[\blacktriangleleft
\left(
\begin{array}{c}
a_x\\
a_y\\
a_z\\
\end{array}
\right)
\times
\left(
\begin{array}{c}
b_x\\
b_y\\
b_z\\
\end{array}
\right)
=
\left(
\begin{array}{c}
a_yb_z − a_zb_y\\
a_zb_x − a_xb_z\\
a_xb_y − a_yb_x\\
\end{array}
\right)\]
より，$\vec{a} \times \vec{b} = \left( \begin{array}{c} \boldsymbol{23}\\ \boldsymbol{1}\\ \boldsymbol{9}\\ \end{array} \right)$
- まず
\begin{align}
(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{a}&=
\left(
\begin{array}{c}
23\\
1\\
9\\
\end{array}
\right)
\cdot
\left(
\begin{array}{c}
−2\\
1\\
5\\
\end{array}
\right)\\
&= 23 \cdot (−2) + 1 \cdot 1 + 9 \cdot 5 = 0 \\
&\blacktriangleleft
\left(
\begin{array}{c}
a_x\\
a_y\\
a_z\\
\end{array}
\right)
\cdot
\left(
\begin{array}{c}
b_x\\
b_y\\
b_z\\
\end{array}
\right)\\
&= a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z
\end{align}
となり，確かに$\vec{a} \times\vec{b}$ と$\vec{a}$ は垂直となっている．また
\begin{align} (\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{b}&= \left( \begin{array}{c} 23\\ 1\\ 9\\ \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} −1\\ −4\\ 3\\ \end{array} \right)\\ &= 23 \cdot (−1) + 1 \cdot (−4) + 9 \cdot 3 = 0 \\ &\blacktriangleleft \left( \begin{array}{c} a_x\\ a_y\\ a_z\\ \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} b_x\\ b_y\\ b_z\\ \end{array} \right)\\ &= a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z \end{align}となり，確かに$\vec{a}\times\vec{b}$ と$\vec{b}$ も垂直となっている．