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数学A 第1章 場合の数 — 順列

順列について

順列の定義

4枚のカード ， ， ， から2枚のカードを引いて，これらを1列に 並べる場合の数は次のように求めることができる．

まず，1枚目のカードの取り方は，4枚のカードのどれを取ってもよいから4通りある．

そして，1枚目のカードが決まれば，2枚目のカードの取り方は，残りの3枚のカードの中から1枚取るから3通りある．

つまり，1枚目のカードの取り方4通りに対して，2枚目のカードの取り方が3通りに定まるから， 2枚のカードの並べ方は『積の法則』より

通り

となる．

右の図は，2枚のカードの並べ方12通りを樹形図と平図を用いて表したものである．

ここで，n個のものからr個とって並べる順列を定義しておこう．

並べ方の樹形図
並べ方の樹形図
定義1順列 の定義 §

「区別するn個のものからr個取り出して1列に並べた列」のことを 順列(permutation)といい， その並べ方の総数を と表す

上の例では， である．

順列の計算

区別する 個のものから 個取り出して1列に並べる順列の数 は，上の例と同じように考えることができる．

1番目のものの取り方は 通りあり， 2番目のものの取り方はそのそれぞれに対して 通りあり， 3番目のものの取り方はそのそれぞれに対して 通りあり， 番目のものの取り方はそのそれぞれに対して 通りある．

したがって，『積の法則』より

と計算できることがわかる．

特に， が に等しいとき，つまり のときには， となる．右辺は1から までの すべての自然数の積であり，これを の階乗(factorial)といい，記号 で表す． つまり

である．

また， のとき， の分母・分子に をかけることにより

と変形なるので，分子は で表すことができ

となる．

のとき，　 は形式的に と表せるが， となって欲しいので， と定めることにする． こうすれば， は のときにも成り立つ．

以上， ， をまとめると

定理2順列 の計算 §

順列 は

と計算できる．ただし，n，rは0以上の整数とし， とする．

よくあるまちがいとして， としてしまうというのがある． 上の式によれば，

である． このことは， すなわち「区別する 個のものから 個取り出して1列に並べる場合の数」は， 「1個も並べない」という1通りである，と

こじつけ

で覚えてしまうとよい．

また， の は，ただ計算上で成り立つだけでなく

とりあえず， 個の区別するものをすべて並べて 通りの樹形図を作ってから，（左から 個のものにしか着目しないので）関係のない 右から 個の並べ方の違いについては無視するため， 通りで1束にして数えたもの

と考えることもできる．このことの具体例を示すため，以下には と の対応を樹形図で表した． 通りは， 通りの順列において 通りで割って1束にしたものであることを確認しよう．

<mjx-container role= と の樹形図">

問題1例題：順列の計算練習

次の値を求めよ．

解答を見る

具体的な数を計算したいときには， を使う．

問題2例題：順列～その1～
  1. の6個の数字を使って3桁の整数を作るとき何通りの方法があるか．ただし，同じ文字は二度使えないものとする．
  2. 30人のクラスがある．このクラスで，委員長，副委員長，書記をそれぞれ一名ずつ決めるとき，何通りの決め方があるか．
解答を見る
  1. 3桁の整数は，異なる6個の数字から3つ選んで並べることにより作ることができるから
  2. 委員長，副委員長，書記をそれぞれ一名ずつ決めるには，30人の中から3人を選んで横1列並べ， 左から順に委員長，副委員長，書記とすればよいので
問題3例題：順列～その2～

5個の整数 があり，この中から異なる数字を用いて整数を作る．

  1. 3桁の整数は何通り作れるか．
  2. 3桁の整数で，かつ百の位と十の位が奇数のものは何通り作れるか．
解答を見る
  1. 百の位にあるのは のうち0を除いた ←最高位の数字は0にならないことに注意
  2. 奇数は1と3の2種類がある． 百の位と十の位に関しての順列は 通り．このそれぞれに対して， 一の位には残りの0，2，4の3種類の数字が入るので
問題4順列～その3～

7つの整数 を1列に並べる．

  1. 6と7が隣り合うものは何通りあるか．
  2. 5と6と7が隣り合うものは何通りあるか．
  3. 両端が1と2になるものは何通りあるか．
解答を見る
  1. 隣り合う6と7の2つを合わせて1つのものとして考え，全体で6つのものの順列を考え
  2. 隣り合う5と6と7の3つを合わせて1つのものとして考え，全体で5つのものの順列を考え
  3. 両端には1と2の順列を考え2通り．

ものを並べる問題で，“隣り合う”ものを考える場合には，その隣り合うものをひとまとめにして考えるとよい．

ボールと箱のモデル1

の定義は

「区別する5個のものから3個とりだして1列に並べるときの並べ方の総数」

であったが，これは以下に示すボールと箱のモデルを使って

「区別する3個のボールを，区別する5個の箱に多くても1個配る場合の総数」

といいかえることができる．

準備として，ボールは区別するので番号をつけ，それを①，②，③とし， 箱も区別するので番号をつけ，それを

図 としておく．

まず，ボール①を箱に配ることを考えると，箱は5つあるので5通りの場合がある．

次に，ボール②を箱に配ることを考えると，すでにボール①は箱に配られていて 残りの箱は4つあるので，4通りの場合がある．

さらに，ボール③を箱に配ることを考えると，すでにボール①と②は 箱に配られていて残りの箱は3つあるので，3通りの場合がある．

以上から，ボールの箱への配り方は 通りあり，これは と一致する．

一般に，次のようにまとめることができる．

図
定理3順列 のボールと箱のモデル §

順列 はボールと箱のモデルを用いて

「区別する 個のボールを，区別する 個の箱に高々1個配る場合の総数」

と考えることができる．

円順列

円順列の定義

先程の『順列』では，区別するものを１列に並べる場合を考えたが，ここでは円形に並べる場合について考えてみる．

例えば， ， ， ， の4人が手をつないで1つの輪をつくるとき，輪のでき方には何通りあるか考えてみよう．

まず，この4人を1列に並べると右図のようになり，その並べ方は 通りである．

ここで，例えば右図の①，②，③，④は，輪になった場合に下の図のようになると考えることができる．

図

これら4つの並び方は，回転させることによって重なるので，どれも同じ1つの並び方だと考えられる．

つまり，右図の①，②，③，④のように，“順送り”に並ぶ4つの順列は，円形に並べた場合には同一視するのである．

よって，この4人の作る輪は 通りある．

ここで，円順列を定義しておこう．

図
定義4円順列 の定義 §

「区別するn個のものを，円形に並べた列」のことをn個の円順列(circular permutation)という． では，その並べ方の総数を と表すことにする．

この例では， である．

円順列の計算

一般に，区別する 個のものを円形に並べた場合の総数も，先程の例と同じように考えることができ， 次のようにまとめられる．

定理5円順列 の計算 §

個の円順列の総数 は

と計算できる．

また，円順列が と計算される理由は，次のように説明することもできる．

簡単のため，先程の が で計算できることについて考えてみよう．

右図のように，まず を固定して，そこから円をつくるように残りの ， ， を並べると考えて， 通りとなり，これは と一致する．

一般の の場合も，1つを固定して，その周りに残りの 個のものを並べると考えて

と考えることができる．

図

ネックレス順列の定義・計算

右図のように，円順列としては区別される2つの順列も，表裏をひっくり返すことができる場合には同一視して1通りと数える．

このように表裏をひっくり返すことができる場合の円順列を， ネックレス順列(nacklace permutation) または 数珠じゅず順列(beads permutation) といい， その総数を では と表す． である．

図
問題5円順列とネックレス順列
  1. 7個の異なる玉を円形に並べるとき，その並べ方は何通りあるか．
  2. 7個の異なる玉を円形に並べてネックレスを作るとき，その作り方は何通りあるか．
解答を見る
  1. 通り
  2. 通り

元記事: http://www.ftext.org/text/section/88（取得日 2026-08-07）

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