数学A 第1章 場合の数 — 重複順列
重複順列について
重複順列
例えば，
の目が描いてある正四面体のさいころを2回振って，出た目を順に 1列に並べる場合の数は次のように求めることができる．
まず，1回目のさいころの目の出方は4通りある．
そして，2回目のさいころの目の出方も4通りある．
つまり，1回目の目の出方4通りに対して，2回目の目の出方も4通りに定まるから，さいころを2回振ったときの目の出方は積の法則より
となる．
右の図は，さいころを2回振ったときの目の出方16通りを樹形図を用いて表したものである．
ここで，
「区別する
順列(permutation)はnPrを用いたが，重複順列はアルファベットのPに対応するギリシア文字Πを用いてこのように表す （ギリシア文字に関しては『ギリシア文字』参照）
この例では，
重複順列
区別する
まず，1番目のものの取り方は
したがって，積の法則より
と計算できることがわかる．
重複順列
と計算できる．
次の値を求めよ.
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7色の絵の具で3つの場所を塗る場合について次の問に答えよ．
- 同じ色を使わないで塗る方法は何通りあるか．
- 同じ色を使って塗る方法は何通りあるか．
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- 最初の場所を塗るには7通りの色が選べ，そのそれぞれに対して，
- 3つの場所それぞれ，7通りの色が選べる． つまり，7つのものから繰り返しを許して3つ並べる重複順列となり
ボールと箱のモデル2
例えば，
「区別する5個のものから，繰り返し用いることを許して，3個とりだして1列に並べるときの並べ方の総数」
であったが，これはボールと箱のモデルを使って
「区別する3個のボールを，区別する5個の箱に配る（何個でもよい）場合の総数」
といいかえることができる．それには，次のように考えるとよい．
準備として，ボールは区別するので番号をつけ，それを①，②，③とし， 箱も区別するので番号をつけ，それを
としておく．
まず，ボール①を箱に配ることを考えると，箱は5つあるので5通りの場合がある．
次に，ボール②を箱に配ることを考えると，箱には何個でもボールを入れてよいので，このときも5通りの場合がある．
さらに，ボール③を箱に配ることを考えると，同じように5通りの場合がある．
以上から，ボールの箱への配り方は
一般に，次のようにまとめることができる．
重複順列
「区別する
と考えることができる．
4桁の電話番号は0000から9999まで10000通りある． このうち，0007や3556のように同じ数字が連続しているものは何通りあるか． また，数字の1と6の両方を含むものは何通りあるか．
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10000通りの電話番号を全体集合
とおく．まず
左から順に数字を並べたとき，はじめの数字はなんでもよいので10通りあり， 左から2番目の数字は今並べた数字とは同じにならないようにするため9通りある． 左から3番目，4番目も同様に9通りあるので
よって
通り
また
とおくと，
通り
元記事: http://www.ftext.org/text/section/89（取得日 2026-08-07）
最終更新: 2026-08-08
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