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数学A 第1章 場合の数 — 資源配分（配分先に区別が無い場合）

資源配分（配分先に区別が無い場合）の数

ボールと箱のモデル8

ボールと箱のモデルを使って

「区別しない5個のボールを，区別しない3個の箱に最低1個は配る場合の数」

を求めてみよう．

箱に区別はないが，数を数えやすくするため，とりあえず区別して考えていく．つまり，箱に区別のある 普通の資源配分に一度戻して考えていく．

ボールは区別しないので，それを とし，箱はとりあえず区別するので番号をつけ，それを

図

としておく．

図は，

図

に1個，

図

に2個，

図

に2個のボールを配った場合を表したものである． このような，ボールの配り方をすべて書き出すと

図

の6通りの場合があるのがわかる．

説明文 これを，計算で求めるには次のように考えるとよい．

まず，区別しない5個のボールを並べて，図のようにボールの間にある4つの“すきま”について考える．

この4つの“すきま”から2つ選んで，その2ヶ所に“しきり” を入れ，5個のボールを3つの 部分に分ける．図は左から1番目と3番目の“すきま”を選んで“しきり”を入れた例である．

こうしておいてから，この3つの部分の左，真中，右にあるボールの個数をそれぞれ3つの箱，

図

に入れるボールの個数に対応させる(図参照)． このように考えると

「区別しない5個のボールを，区別する3個の箱に最低1個は配る場合の数」

は，結局4つの“すきま”から2つの“すきま”の選び方の総数となり，組合せで計算することができる． つまり， 通りと計算できる．

説明文 この6通りは，箱に区別がある場合の資源配分の数であるから，袋に区別が無いときには(3通りを一束にして数えるので)， 図の2通りの場合だけしかない．

説明文
説明文
定義1資源配分(配分先に区別が無い場合)の数 の定義 §

「区別しない 個のボールを，区別しない 個の箱に最低1個は配る場合の数」を， では と表す．

この例では， である．

資源配分(配分先に区別が無い場合)の数の計算

区別しない 個のボールを，区別しない 個の箱に最低1個は配る場合の数 の一般的な議論は難しいので，簡単な例題についてだけ以下に触れる．

例えば， に一番近い整数 などであることが知られている．

問題1資源配分(配分先に区別が無い場合)の計算練習

次の値を求めよ．

解答を見る
  1. 求めるのは「区別しない5個のボールを，区別しない1個の箱に最低1個は配る場合の数」であり，これは次の図のような 通りである．
  2. 求めるのは「区別しない5個のボールを，区別しない2個の箱に最低1個は配る場合の数」 であり，これは次の図のような 通りである．
  3. 求めるのは「区別しない5個のボールを，区別しない3個の箱に最低1個は配る場合の数」 であり，これは次の図のような 通りである．
  4. 求めるのは「区別しない5個のボールを，区別しない4個の箱に最低1個は配る場合の数」 であり，これは次の図のような 通りである．
  5. 求めるのは「区別しない5個のボールを，区別しない5個の箱に最低1個は配る場合の数」 であり，これは次の図のような 通りである．
問題2資源配分 (配分先に区別が無い場合)

区別しない9個のボールを，区別しない3つの箱に配る場合について，どの箱にも最低1個はボールを配るとして，その配り方には何通りの方法があるか求めよ．

解答を見る

まず，ボールを区別せず，箱を区別する(a箱，b箱，c箱と名付ける) 場合について考える．

このとき，9個のボールを3つの箱に分ける方法は，並べた9個のボールの“すきま”8ヶ所に“しきり”を2ヶ所いれ，左から順にa箱，b箱，c箱に入れるボールの数と対応させればよい． つまり， 通りある．

図

a箱，b箱，c箱にはいるボールの数がそれぞれ のとき， と表す．

  1. 28通りのうち3つの箱とも入るボールの数が等しくなるのは
  2. a箱，b箱に入るボールの数が等しいのは，3箱とも入るボールの数が同じ場合を除くと
  3. 3つの箱に入るボールの数がばらばらであるのは， 通り．

7通りの内訳は次のようになる．

図
問題3★資源配分 (配分先に区別が無い場合)

を正の整数とし， 個のボールを3つの箱に分けて入れる問題を考える．ただし，1個のボールも入らない箱があってもよいものとする．

  1. 互いに区別のつかないボールを，A，B，Cと区別された3つの箱に入れる場合，その入れ方は全部で何通りあるか．
  2. が6の倍数 ( は自然数)であるとき， 個の互いに区別のつかないボールを，区別のつかない3つの箱に入れる場合，その入れ方は全部で何通りあるか． を用いて表せ．
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  1. Aに 個，Bに 個，Cに 個入れるとして
    1. の 通りのうち

資源配分(配分先に区別が無い場合)の和

問題4資源配分(配分先に区別が無い場合)の和

資源配分 (配分先に区別が無い場合)の例題において． 空の箱があってもよいとすると，何通りの配り方があるか求めよ．

解答を見る

資源配分 (配分先に区別が無い場合)の解答より，

空の箱が1つも無い場合には7通りであった．

2つの箱が空箱になるのは，1通り． 1つの箱が空箱になるのは(数えて)4通り．よって

通り

この例題からわかるように，空の箱があってもよい場合のボール の配り方は， の和となる． ボールと箱のモデルでまとめると，次のようになる．

定理2資源配分(配分先に区別が無い場合)の和 §

「区別しない 個のボールを，区別しない 個の箱に配る(何個でもよい)場合の数」は， と表すことができる．

ボールと箱のモデルでの体系では以下の位置を占めている．

ボール・箱 単射 写像全て 全射
あり・あり 順列 重複順列 部屋割り
なし・あり 組合せ 重複組合せ 資源配分
あり・なし （右枠の和） 部屋割り（区別なし）
なし・なし （右枠の和） 資源配分（区別なし）

数の分割

自然数の5を正の整数の和(5そのものも含むとする)として表す方法には，和の順番を区別しなければ

の7通りある．

このように，正の整数 を正の整数の和として表すことを，正の整数 の分割(partition)といい，その表し方の総数を では と表す．この例から， である．

資源配分(配分先に区別が無い場合)の計算練習の例題より

であったが，これらは自然数5の分割のすべてのパターンを表したものであるので

が確認できる．

元記事: http://www.ftext.org/text/section/95（取得日 2026-08-07）

最終更新: 2026-08-08

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