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数学A 第1章 場合の数 — 資源配分

資源配分の数

ボールと箱のモデル6

では，このボールと箱のモデルを使って

「区別しない5個のボールを，区別する3個の箱に最低1個は配る場合の総数」

を求めてみよう．

準備として，ボールは区別しないので，それを とし， 箱は区別するので番号をつけ，それを

図

としておく．

次の図は，

図

に1個，

図

に2個 ，

図

に2個のボールを配った場合を表したものである． このような，ボールの配り方をすべて書き出すと

図

の6通りの場合があるのがわかる．

これを，計算で求めるには次のように考えるとよい．

図 まず，区別しない5個のボールを並べて，ボールの間にある4つの“すきま”について考える．

この4つの“すきま”から2つ選んで，その2ヶ所に“しきり” を入れ，5個のボールを3つの 部分に分ける．

こうしておいてから，この3つの部分の左，真中，右にあるボールの個数をそれぞれ3つの箱，

図

に入れるボールの個数に対応させる．

このように考えると，結局

「区別しない5個のボールを，区別する3個の箱に最低1個は配る場合の総数」

は，4つの“すきま”から2つの“すきま”の選び方の総数となり，組合せで計算することができる． つまり， 通りと計算できる．

図
定義1資源配分の数 の定義 §

「区別しないn個のボールを，区別するr個の箱に最低1個は配る場合の数」を， では と表す．

この例では

である．

資源配分の数の計算

区別しない 個のボールを，区別する 個の箱に最低1個は配る場合の総数 も，先程の例と同じように考えることができる．

まず，区別しない 個のボールを並べて，ボールの間にある 個の“すきま”について考える．

この 個の“すきま”から 個選んで，その ヶ所に“しきり” を入れ， 個のボールを 個の部分に分ける．

こうしておいてから，この 個の部分を左から順に， 個の箱，

図

に入れるボールの個数に対応させる．

図 このように考えると，結局

「区別しない 個のボールを，区別する 個の箱に最低1個は配る場合の数」

は， 個の“すきま”から 個の“すきま”の選び方の総数となり，組合せで計算することができ

となる．

まとめておこう．

<mjx-container role= 個の“すきま”から選んだ 個の 場所に“しきり”を入れることにより，下の図のようになる">

定理2資源配分の数 の計算 §

資源配分の数 は

と計算できる．

問題1資源配分の計算練習

次の値を求めよ．

解答を見る
問題2資源配分〜その1〜

8個の区別しないアメを3人の子供に分けるとき，次の問に答えよ．

  1. 子供は皆最低1個はアメをもらう場合，何通り分け方があるか．
  2. 1個もアメをもらえない子供がいてもよい場合，何通りの分け方があるか．
解答を見る

  1. 8個のアメを8個の白丸

  2. (こちらは重複組合わせになる)

    重複組合せ のボールと箱のモデル参照

    通り

問題3資源配分〜その2〜
  1. を満たす自然数の組 の数を求めよ．
  2. を満たす0以上の整数の組 の数を求めよ．
解答を見る
  1. 15という数を15個の白丸
  2. (こちらは重複組合せになる)
問題4資源配分と重複組合せ

と は等しいことを説明せよ．

解答を見る

の定義は，「区別しない 個のボールを，区別する 個の箱に最低1個は配る場合の数」である．

資料配分の数 の定義

また， はボールと箱のモデルでは，「区別しない 個のボールを，区別する 個の箱に配る(何個でもよい)場合の数」である．

重複組合せ のボールと箱のモデル

について考える． この「最低1個は配る」について，はじめに 個の箱に1個ずつボールを配っておき， その後残った 個のボールを 個の箱に配る(何個でもよい)と考えてもよく， これは， と一致する．

元記事: http://www.ftext.org/text/section/93（取得日 2026-08-07）

最終更新: 2026-08-08

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