数学A 第1章 場合の数 — 重複組合せ

重複組合せについて

重複組合せの定義

の目が描いてある正四面体のさいころを2回振って， 出た目の組（順番は考えない）をすべて書き出すと

の10通りとなる．これは，『同じものを含む順列』の考え方を利用し，次のように計算することができる．

まず，各組は

の順に並べて表すことにする．例えば，

を1個，

を1個使って作られる組は

と表す．この組に対して，さいころの目を表す2個の と，異なる4文字の“しきり”を表す 個の からなる順列を，右図のように対応させる． つまり，3つの“しきり” で4つの場所ができるので，その場所にある の個数が，それぞれさいころの

の個数を表すものとするのである．

例えば，上の10組のうちの，

や

や

などは， と の順列で右図のように表すことができる．

こうすると，結局，区別しない2個の と区別しない3個の の計5個のものを並べたときの順列を計算すればよいから， 『同じものを含む順列』より

通り

と数えることができる．

ここで， 個のものから，繰り返し用いることを許して， 個とって作る組について定義しておこう．

重複組合せの計算

区別する 個のものから，繰り返し用いることを許して， 個取り出して作る組の総数 も，先程の例と同じように考えることができる．

まず，右図のように， 個の と，（ 個の入る場所を作るための） 個の“しきり” を並べる． こうしておいてから，区別しない 個の と区別しない 個の の計 個のものを並べたときの 『同じものを含む順列』を計算すればよいので

となる．普通 を計算するには，このように と の並べ方を考えて に帰着してから計算するとよい．

さて，ここでさらに の計算をすすめてみると

つまり

と計算することもできる．この式は， と比較すると覚えやすい．例えば

である．

以上，まとめると

ボールと箱のモデル5

例えば， の定義は

「区別する5個のものから，繰り返し用いることを許して，3個とりだしてつくる組の総数」

であったが，これはボールと箱のモデルを使って

「区別しない3個のボールを，区別する5個の箱に配る(何個でもよい)場合の総数」

といいかえることができる．それには，次のように考えるとよい．

準備として，ボールは区別しないので，それを とし， 箱は区別するので番号をつけ，それを

としておく．

例えば，区別しない3個のボールを，区別する5個の箱に，図のように配ったとする．

このときは，5−3重複組合せのうちの と対応すると考えることができる．

また逆に，5−3重複組合せのうちの は，図のようなボールの配り方に対応すると考えることができる．

これ以外の5−3重複組合せも，ボールの箱への配り方と1対1に対応するので， 結局，ボールの箱への配り方の総数は と一致するといえる．

一般に，次のようにまとめることができる．

元記事: http://www.ftext.org/text/section/92（取得日 2026-08-07）