数学A 第1章 場合の数 — 部屋割り（部屋に区別が無い場合）
部屋割り（部屋に区別が無い場合）の数
ボールと箱のモデル7
ボールと箱のモデルを使って
「区別する5個のボールを，区別しない3個の箱に最低1個は配る場合の数」
を求めてみよう．
箱に区別はないが，数を数えやすくするため，とりあえず区別して考えていく．つまり，箱に区別のある 普通の部屋割りに一度戻して考えていく．
ボールは区別するので番号をつけ，それを①，②，③，④，⑤とし， 箱もとりあえず区別するので番号をつけ，それを
としておく．
集合
が空になる
が空になる
が空になる
とおくと，部屋割りの数は
であるから，包含と排除の原理 (3集合版)を使って
∴150通り
となる．
以上までが，普通の部屋割りと同じ話であった．部屋に区別がない場合には，以下の点が違う．
今求めた150通りは，部屋に区別がある場合の部屋割りの数であるから，部屋に区別が無いときには，部屋を区別することによって 生じる
ここで，「区別する
「区別する
はイギリスの数学者スターリング(Stirling)の頭文字に由来する． は 第2種スターリング数(Stirling number of the second kind)
と呼ばれている．
この例では，
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は「区別する2個のボールを，区別しない1個の箱に最低1個は配る場合の数」である．これは，2個のボールを1つの箱にしまう 通り． は「区別する2個のボールを，区別しない2個の箱に最低1個は配る場合の数」 である．これは，2個のボールを2つの箱に1つずつしまう 通り． は「区別する3個のボールを，区別しない1個の箱に最低1個は配る場合の数」 である．これは，3個のボールを1つの箱にしまう 通り． は「区別する3個のボールを，区別しない2個の箱に最低1個は配る場合の数」 である．ボールを配るとき，ボールが1個の箱と2個の箱ができるが，どのボールが1個で箱に入るのかを考え，
9人の人が，区別しない3つの部屋に泊まる場合について考える． どの部屋にも最低1人は泊まるものとすると，泊まり方には何通りの方法があるか．
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まず，部屋を区別してから考える．求めるものは
まず，3つの部屋を区別して考えていくため，部屋に
このうち，1部屋以上の部屋が空部屋になるのは
2部屋が空部屋になるのは
よって，空部屋が無いような人の泊まり方は
本来部屋は区別しないので，
★
部屋を区別しない場合の，一般の部屋割りの数は
と表される．
第2種スターリング数
と計算できる．
この計算式は理論的にはこう表せるということを示したものであり，記憶する必要は全くない． シグマ記号
については 数学Bを参照のこと．
第2種スターリング数の性質
- 2以上の整数
において - 1.を利用して，
を求めよ．
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すなわち「区別する 個のボールを，区別しない 個の箱に最低1個は配る場合の数」は，
部屋割り(部屋に区別が無い場合)の和
部屋割り (部屋に区別が無い場合)の例題において， 空の部屋があってもよいとすると，何通りの方法があるか求めよ．
解答を見る
部屋割り(部屋に区別が無い場合)の解答より，
空部屋が無いような人の泊まり方は
だった．
2部屋が空になるのは，部屋を区別した場合には3通りあるが，部屋の区別をなくすには3で割ればよいので
1部屋が空になるのは，部屋を区別した場合には
よって
この例題からわかるように，空の部屋(箱)があってもよい場合の人(ボール)の分け方(配り方)は，
「区別する
ボールと箱のモデルでの体系では以下の位置を占めている．
| ボール・箱 | 単射 | 写像全て | 全射 | |
|---|---|---|---|---|
| あり・あり | 順列 | 重複順列 | 部屋割り | |
| なし・あり | 組合せ | 重複組合せ | 資源配分 | |
| あり・なし | （右枠の和） | 部屋割り（区別なし） | ||
| なし・なし | （右枠の和） | 資源配分（区別なし） |
先程の例題を少し変え，「9人の人が，区別しない9つの部屋に泊まる場合(空部屋があってもよい)何通りの泊まり方があるか」 とした場合にはその答えは
となり，この値は
パソコンでの計算によれば
である． は数学者ベル(Bell)の頭文字に由来し， は，ベル数(Bell number)と呼ばれている．
元記事: http://www.ftext.org/text/section/94（取得日 2026-08-07）
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