数学A 第2章 確率 — 確率分布と期待値

確率変数と確率分布

確率変数とは何か

10本のくじがあり，そこから1本のくじを引くという試行を考える． A賞が当ると1000円，B賞が当ると500円，C賞が当ると100円もらえるものとする．

A賞，B賞，C賞の当る確率は，それぞれ であるから，賞金と確率の関係は表のようにまとめることができる．

ここで，1本のくじを引いた結果もらえる賞金を 円とすれば， は1000，500，100のどれかの値をとる． このとき， がどの値をとるかは試行の結果によって決まる．

また， となるときの確率を のように書くとすると，これはA賞に当るという事象の確率であるから

と書くことができる．他のものも同様にして

と書ける．

一般に，いまの のように，試行の結果によってその値が定まる変数を確率変数（probability variable）という． 確率変数を表すのには，大文字のアルファベット を使うことが多い．

確率分布とは何か

先程まとめた表

は，確率変数と，その値となるときの確率の対応を示したものであり， この対応のことを確率分布（probability distribution）という．確率分布を上のように表にしてまとめたものを確率分布表（probability distribution chart）という

表以外にもグラフでまとめたものもあり，それは確率分布グラフという．

確率変数 が， という値をとる試行での確率分布が

とすると，確率分布表は

となる．

期待値

期待値とは何か

さて，先程のくじ引きにおいて，このくじを1回引くとき，平均していくらの賞金が期待できるかについて考えてみよう．

このくじの賞金は総額で

であるから，くじ1本あたりの賞金は，平均して

と考えられる．

この計算の見方を少し変えると（総額= , くじの本数= とすると）

と表すこともできる．

一般に，確率変数 のとり得る値のすべてが

であり，その値をとるときの確率がそれぞれ

であるとする．つまり，確率分布が のとき

の値を，確率変数 の期待値（expextation）または平均（mean）といい と表す．

先程のくじ引きの例では，くじ1本あたりの賞金の平均値が期待値である．

確率変数の1次式の期待値

確率変数 のとる値が のとき， の1次式 は

という値をとる，別の新しい確率変数であると考える．

確率分布を とすると， ならば

が成り立つ．

よって，確率変数 の期待値 は

となる．

確率変数の和の期待値

確率変数 の確率分布が ，確率変数 の確率分布が ，となる試行を考える．

が値 をとり， が値 をとる確率を と書くとし

とする．

2つの確率変数 はいろいろな値をとるが，それらを足した値をもまたいろいろな値をとり， この値を別の新たな確率変数と考えることもできる．この新しい確率変数 を

と書くことにする． の確率分布表は以下のようになる．

このとき， の期待値 は