数学A 第3章 図形の性質 — 空間図形

直線と平面

2つの直線の位置関係

異なる2直線 の位置関係には次の3つの場合がある．

1)，2)の場合は2直線は同じ平面上にあり，3)の場合は同じ平面上にない．

3)の場合，次の図のように，任意の1点 を通り にそれぞれ平行な直線 をひくと， 点 のとり方に関係なく，2つの角 が決まる． となるので， 片方の角度が決まればもう片方の角度も決まる．この2つの角のうち大きくないほう，すなわち のときの を2直線 のなす角という．

2)，3)の場合において，特に のなす角が直角であるとき， と は垂直であるといい， と書く．さらに，垂直である2直線が交わるとき，直交するという．

直線と平面との位置関係

直線 と平面 の位置関係には，次の3つの場合がある．

次の図のように，直線 が平面 上のすべての直線と垂直であるとき， と は垂直である，または直交するといい， と表す．また，このとき， を平面 の垂線という．

実は，直線 が平面 上の異なる2直線と垂直であれば， は 上のすべての直線と垂直となって， となる．

平面 上にない点 を通る の垂線が，平面 と交わる点 を，点 から平面 におろした垂線の足という．

2つの平面の位置関係

異なる2平面 の位置関係には，次の2つの場合がある．

1)のように，2平面 が共有点をもたないとき，この2平面は平行であるといい， とかく．

また，2)のように，2つの平面 が共有点をもつとき，この2平面はその共有点を含むある1つの直線を共有する．このとき，この2平面は交わるといい，この直線を と の交線という．

交わる2平面 の交線上の点 から交線に垂直な直線 をそれぞれ 上に引くと， のとり方に関係なく の大きさは一定となる．この角を2平面 のなす角という． 特に， のとき， と は直交する，または垂直であるといい， と書く．

三垂線の定理

多面体

多面体とは何か

正多面体とは何か

空間図形において，全ての面が合同な正多角形からなり，各頂点に集まる辺の数が全て等しい多面体のことを正多面体 regular polyhedronという．

たとえば，正四面体は正多面体であるが，正四面体2つを重ねてできる六面体は，頂点に集まる辺の数が3つの場合と4つの場合があるので，正多面体ではない．

正多面体は

1. 正四面体
2. 正六面体（立方体）
3. 正八面体
4. 正十二面体
5. 正二十面体

の5つしかないことが知られている．

輪郭がへこんでいる多面体は，凹（おう）多面体 concave polyhedronといい，普通の多面体である凸（とつ）多面体 convex polyhedronとは区別する．

凹多面体も多面体に含めると，正多面体は全部で9つあることが知られている． 右の図は，正凹多面体の1つである．

オイラーの多面体定理

元記事: http://www.ftext.org/text/section/102（取得日 2026-08-07）