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数学A 第4章 整数の性質 — 整数の基本性質

整数の除法

整数の割り算の復習

まず，小学校以来慣れ親しんできた，整数の除法(integer division)について復習する．

たとえば，右図のような計算により，17を3で割ると，商は5で余りは2とわかる．この関係を式で表すと

となる．

このとき，17を割られる数，3を割る数と呼ぶので，一般的には次のような関係が成り立つ．

また，（割る数） （余り） の関係がある．

整数の除法とは何か，つまり整数 を整数 で割ったときの商と余りを求めるとはどういうことなのかを きちんと定義すると

を満たす整数 と を求めることとなる.そして，この求まった値 と をそれぞれ，商と余りと呼ぶのである．

普段割り算で行う筆算は，この や を求めるための手段に過ぎない．

説明文
説明文

約数と倍数

余りが0になるような割り算を考える． 例えば，12を3で割ると，商は4余りは0となる． このとき，3は12の約数であり，12は3の倍数であるという．

一般には次のように表すことができる．

定義1約数と倍数 §

2つの整数 が，ある整数 を用いて

と表せる時， は の約数であるといい， は の倍数であるという。

文脈によっては約数のことを，因数と呼ぶこともある． 例えば

なので，3や4や5は，60の約数であり因数である．

問題1倍数の和と積
  1. 整数 の倍数の和は の倍数であることを示せ．
  2. 整数 の倍数の積は の倍数であることを示せ．
解答を見る

整数 の倍数は，適当な整数 を用いて， と表すことができる．

このとき，倍数の和は

であり， は整数であるから， の倍数である．

また，倍数の積は

であり， は整数であるから， の倍数である．

定理2倍数の和と積 §

ある整数の倍数の和はある数の倍数である．

また，ある整数の倍数の積はある数の倍数である．

割り算の一意性

定理3割り算の一意性 §

なし

最大公約数と最小公倍数

最大公約数と最小公倍数とは何か

定義4最大公約数と最小公倍数 §

2つ以上の整数において，それらに共通する約数を公約数といい，公約数のうち最大のものを最大公約数という．

最大公約数が1であるとき，その2つ以上の整数は互いに素であるという．

また，2つ以上の整数において，それらに共通する倍数を公倍数といい，正の公倍数のうち最小のものを最小公倍数という．

2つの整数 と の最大公約数は，英語表記のgreatest common divisorの頭文字をとって などと表す． また，最小公倍数（least common multiple）も同様に， などと表す．

最大公約数や最小公倍数を求めるには，素因数分解を使う．例えば，42と60をそれぞれ素因数分解すると

となる．

これら2つの数に共通する素因数は2と3であり，1はすべての数の約数となるので，公約数はこれら自身と積で組み合わせたもの，すなわち

が公約数となる．最大公約数は6である．

また，これら2つの数を共に因数にもつ の倍数が公倍数である．最小公倍数は420である．

問題2最大公約数と最小公倍数

次の各組の多項式の最大公約数と最小公倍数を求めよ． ただし，答えの式は展開しなくてもよい．

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  1. なので，
定理5公倍数は最小公倍数の倍数 §

2つ以上の整数の公倍数は最小公倍数の倍数である．

定理6公約数は最大公約数の約数 §

2つ以上の整数の公約数は最大公約数の約数である．

定理7最大公約数と最小公倍数の積 §

整数 の最大公約数を ，最小公倍数を とすると

が成り立つ．

互いに素な数の性質

互いに素な数については，次のような性質がある．

定理8互いに素な数の性質 §

が互いに素であるとき，

が で割り切れるならば， が で割り切れる．

が成り立つ．ただし， は整数である．

証明

と は互いに素であるから，最大公約数と最小公倍数の積より， と の最小公倍数は である．

は の倍数であり，仮定より の倍数でもあるから， の公倍数である．

公倍数は最小公倍数の倍数より， は の公倍数である．すなわち，適当な整数 を使って

と表せる．この両辺を で割って， ，すなわち は で割り切れる．

∎

ユークリッドの互除法

最大公約数を求めるには素因数分解を行えばよいが， のように大きな数を素因数分解するのは難しい（ ）．

素因数分解しにくい大きな数の最大公約数を求めるには，次の定理を使うと良い．

定理9ユークリッドの互除法 §

2つの自然数 において， を で割った余りを とすると，

と の最大公約数は， と の最大公約数と等しい

すなわち

が成り立つ．

暗記1ユークリッドの互除法

ユークリッドの互除法を証明せよ．

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なし

例として1071と1029の最大公約数を求めてみよう．

1071を1029で割ると，商は1余りは42，すなわち

となるので，1071と1029の最大公約数は，1029と42の最大公約数と等しい． ここで得られた，1029と42に関して，再び割り算を行うと

となるので，1029と42の最大公約数は，42と21の最大公約数と等しい．同様にして

となるので，42と21の最大公約数は21であることがわかる．すなわち，1071と1029の最大公約数は21である．

問題3ユークリッドの互除法の利用

なし

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なし

素数

素数とは何か

定義10素数 §

2以上の自然数で，正の約数が1とその数自体のみである数を，素数という．

例えば，次のような数はみな素数である．

1は素数に含まれないので注意しよう．

定義11合成数 §

2以上の自然数で素数でないものを，合成数という．

例えば，14や60は

なので，合成数である．

素数の性質

定理12素数の性質 §

を整数， を素数とする時

が で割り切れるならば， または が で割り切れる

暗記2素数の性質

素数の性質を証明せよ．

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と の最大公約数は の約数であるから， または である．

もし，最大公約数が ならば， は で割り切れる．

もし，最大公約数が ならば，互いに素な数の性質より， が で割り切れる．

よって， のうち、少なくとも1つは で割り切れる．

素因数分解

素数である因数を素因数といい，自然数を素数だけの積の形で表すことを素因数分解するという．

例えば，60は

と因数分解できる．

問題4素因数分解

次の数を素因数分解せよ．

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なし

上の例題から経験的に次のことがわかる．

定理13素因数分解の一意性 §

合成数の素因数分解は，積の順序を考えなければ１通りに定まる．

ある数の約数の個数については次のことが成り立つ．

定理14約数の個数 §

自然数 の素因数分解が， であるとき， の正の約数の個数は

となる．

素数の個数

素数は無数にあることを示すことができる．

暗記3素数が無数にあることの証明

素数を小さい方から並べると

である．

  1. が素数であることを確認せよ．
  2. 素数が無数にあることを示せ．
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なし

不定方程式の整数解

の整数解

の整数解を求めてみよう．

を整数解とすると

が成り立つ． は3の倍数であるから， も3の倍数である．

2と3は互いに素であるから，互いに素な数の性質より， は3の倍数であり，適当な整数 を用いて， と表される．これを， に代入すると

となるから，方程式の解は と表される．

逆に，この形で表される整数 の組みは，方程式の解となる．

以上より，方程式の整数解は となる．

一般に次のことが成立する．

定理15 の整数解 §

を互いに素な整数とするとき， を満たす整数解は

である．

の整数解

ax+by=1の整数解

次に，方程式 を満たす整数解を求めてみよう．

この場合，方程式 を満たす整数解のうち1つが発見すれば， の整数解の問題に帰着できる．

暗記4 の整数解

方程式 を満たす整数解を求めよ．

解答を見る

を満たす整数解として， がある．つまり

より

2と3は互いに素であるから， ＝ の整数解より のすべての整数解は

（は整数） と表せる．

よって， のすべての整数解は

となる．

解答を見る

なし

問題5 の整数解

次の方程式の整数解をすべて求めよ．

解答を見る

を満たす整数解として， がある．つまり

より

2と3は互いに素であるから， ＝ の整数解より のすべての整数解は

（は整数） と表せる．

よって， のすべての整数解は

となる．

解答を見る

なし

積の形の不定方程式

元記事: http://www.ftext.org/text/section/103（取得日 2026-08-07）

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