直線のベクトル方程式（空間）

直線の通る1点と方向ベクトルが与えられたとき（空間）

直線の通る1 点と方向ベクトルが与えられたときの図その１

空間内の点$\text{A}(\vec{a})$ を通り$\vec{0}$ でない$\vec{d}$ に平行な直線を$l$とする．このとき，この直線上を動くの点$\text{P}$ の位置ベクトル$\vec{p}$ の表し方は，平面内の場合と全く同様で次のようになる．

まず，点$\text{P}$ が直線$l$ 上にある限り，必ず$\overrightarrow{\text{AP}} \parallel \vec{d}$ であるから，空間ベクトルの平行条件より

\[\overrightarrow{\text{AP}} = t\vec{d}\]

となる実数$t$ が存在する．よって

\[\overrightarrow{\text{OP}} =\overrightarrow{\text{OA}} +\overrightarrow{\text{AP}}\]

つまり$\vec{p} = \vec{a} + t\vec{d} \tag{1}\label{chokusennotooru1tentohoukoubekutorugaataeraretatoki1}$

が成り立つ

次に，座標空間内で成分表示されたベクトルのベクトル方程式を考えてみよう．

点$\text{A}(x_0: y_0, z_0)$ を通り，方向ベクトルが$\vec{d} = \left( \begin{array}{c} d_x\\ d_y\\ d_z\\ \end{array} \right)$ である直線上の点$\text{P}$ の座標を$\text{P}(x, y, z)$ とおくと，$\vec{a} = \left( \begin{array}{c} x_0\\ y_0\\ z_0\\ \end{array} \right) ，\vec{p} = \left( \begin{array}{c} x\\ y\\ z\\ \end{array} \right)$ であるから，$\eqref{chokusennotooru1tentohoukoubekutorugaataeraretatoki1}$より \begin{align} &\vec{p} = \vec{a} + t\vec{d} \Longleftrightarrow \left( \begin{array}{c} x\\ y\\ z\\ \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} x_0\\ y_0\\ z_0\\ \end{array} \right) + t \left( \begin{array}{c} d_x\\ d_y\\ d_z\\ \end{array} \right)\\ \Longleftrightarrow & \left\{ \begin{array}{l} x = x_0 + d_xt\\ y = y_0 + d_yt\\ z = z_0 + d_zt\\ \end{array} \right. \end{align}

と表せる．これを，$t$ を媒介変数とする直線$l$の方程式という．

$d_x \neq 0$ かつ$d_y \neq 0$ かつ$d_y \neq 0$ のとき，この式から媒介変数$t$ を消去すると，座標空間内の直線の方程式は

\[(t =)\dfrac{x − x_0}{d_x}=\dfrac{y − y_0}{d_y}=\dfrac{z − z_0}{d_z}\]

と表せる．

直線のベクトル方程式 I

以下のそれぞれについて，点$\text{A}$ を通り方向ベクトルを$\vec{d}$ とする直線$l$ の方程式を，媒介変数$t$ を用いて表せ．また，媒介変数を用いない形で直線の方程式を表せ．

  1. $\text{A}(2, 1, − 2)，\vec{d} = \left( \begin{array}{c} 4\\ 3\\ 1\\ \end{array} \right)$
  2. $\text{A}(4, 0, 1)，\vec{d} = \left( \begin{array}{c} −3\\ 2\\ 0\\ \end{array} \right) $
  3. $\text{A}(−1, 3, 0)，\vec{d} = \left( \begin{array}{c} 2\\ 0\\ −1\\ \end{array} \right) $
  4. $\text{A}(−2, 1, 0)，\vec{d} = \left( \begin{array}{c} 0\\ −3\\ 0\\ \end{array} \right) $

  1. \[ \left\{ \begin{array}{l} \boldsymbol{x = 2 + 4t}\\ \boldsymbol{y = 1 + 3t}\\ \boldsymbol{z = −2 + t}\\ \end{array} \right.\]

    それぞれの式を$t$ について解くと，$t =\dfrac{x – 2}{4}$，$t =\dfrac{y – 1}{3}$，$t = z + 2$ となるから

    \[\boldsymbol{\dfrac{x – 2}{4}=\dfrac{y – 1}{3}= z + 2}．\]
  2. \[ \left\{ \begin{array}{l} \boldsymbol{x = 4 − 3t}\\ \boldsymbol{y = 2t}\\ \boldsymbol{z = 1}\\ \end{array} \right. \]

    それぞれの式を$t$ について解くと，$t = \dfrac{x – 4}{−3}$，$t =\dfrac{y}{2}$ となり，$z$ は常に$1$ であるから

    \[\boldsymbol{\dfrac{x – 4}{−3}=\dfrac{y}{2}, z = 1}．\]
  3. \[ \left\{ \begin{array}{l} \boldsymbol{x = −1 + 2t}\\ \boldsymbol{y = 3}\\ \boldsymbol{z = −t}\\ \end{array} \right. \]

    それぞれの式を$t$ について解くと，$t = \dfrac{x + 1}{2}$，$t =\dfrac{z}{−1}$となり，$y$ は常に$3$ であるから

    \[\boldsymbol{\dfrac{x + 1}{2}=\dfrac{z}{−1}, y = 3}\]
  4. \[ \left\{ \begin{array}{l} \boldsymbol{x = −2}\\ \boldsymbol{y = 1 − 3t}\\ \boldsymbol{z = 0}\\ \end{array} \right. \]

    $t$ が変化すると$y$ はすべての実数をとるが，$x$ は常に$−2$ であり，$z $は常に$0 $であるから

    $\boldsymbol{x = −2 , z = 0 , y}$はすべての実数

直線の通る2点が与えられたとき（空間）

無題

無題

空間内の異なる2 点$\text{A}(\vec{a})，\text{B}(\vec{b})$ を通る直線を$l$ とする．このとき，$l$ は点$\text{A}(\vec{a})$ を通り，方向ベクトルが$\vec{d} = \overrightarrow{\text{AB}} = \vec{b} − \vec{a}$ の直線であるから，$l$ 上の点$\text{P}(\vec{p})$ に関するベクトル方程式は，「直線の通る1 点と方向ベクトルが与えられたとき」 の(1)より

\begin{align} &\vec{p} = \vec{a} + t(\vec{b} − \vec{a})\\ \Leftrightarrow &\vec{p} = (1 − t)\vec{a} + t\vec{b} \tag{2}\label{chokusennotooru2tengaataeraretatoki2} \end{align}

となる．

この式を利用して，座標空間内の2 点が与えられたときの直線の方程式を求めてみ よう．

$\vec{a} = \left( \begin{array}{c} x_0\\ y_0\\ z_0\\ \end{array} \right)$ ，$\vec{b} = \left( \begin{array}{c} x_1\\ y_1\\ z_1\\ \end{array} \right)$ とし，$\vec{p} = \left( \begin{array}{c} x\\ y\\ z\\ \end{array} \right)$ とすると，$\eqref{chokusennotooru2tengaataeraretatoki2}$より

\begin{align} &\vec{p} = (1 − t)\vec{a} + t\vec{b}\\ \Longleftrightarrow &\left( \begin{array}{c} x\\ y\\ z\\ \end{array} \right) = (1 − t) \left( \begin{array}{c} x_0\\ y_0\\ z_0\\ \end{array} \right) + t \left( \begin{array}{c} x_1\\ y_1\\ z_1\\ \end{array} \right)\\ \Longleftrightarrow &\left\{ \begin{array}{l} x = (1 − t)x_0 + tx_1\\ y = (1 − t)y_0 + ty_1\\ z = (1 − t)z_0 + ty_1\\ \end{array} \right.\\ \Longleftrightarrow &\left\{ \begin{array}{l} x − x_0 = t(x_1 − x_0)\\ y − y_0 = t(y_1 − y_0)\\ z − z_0 = t(z1 − z_0)\\ \end{array} \right.\\ \Longleftrightarrow &\left\{ \begin{array}{l} t =\dfrac{x − x_0}{x_1 − x_0}\\ t =\dfrac{y − y_0}{y_1 − y_0}\\ t =\dfrac{z − z_0}{z_1 − z_0}\\ \end{array} \right. \end{align}

これより，$t$ を消去して

\[ (t =)\dfrac{x − x_0}{x_1 − x_0}=\dfrac{y − y_0}{y_1 − y_0}=\dfrac{z − z_0}{z_1 − z_0}\]

を得る．

この式は，直線の通る1 点$\text{A}(\vec{a})$ を$\vec{a} = \left( \begin{array}{c} x_0\\ y_0\\ z_0\\ \end{array} \right)$ ，方向ベクトル$\vec{d}$ を$\vec{d} = \vec{b} − \vec{a} = \left( \begin{array}{c} x_1 − x_0\\ y_1 − y_0\\ z_1 − z_0\\ \end{array} \right)$

として，「直線の通る1 点と方向ベクトルが与えられたとき」 の(1)を用いた結果に他ならない．

2 直線の距離

空間内に2 直線

\begin{align} l &:\overrightarrow{\text{OP}} =\overrightarrow{\text{OA}} + t\vec{d}_l\\ m &:\overrightarrow{\text{OQ}} =\overrightarrow{\text{OB}} + s\vec{d}_m \end{align}

がねじれの位置にあるとする（$s，t$ は任意の実数をとる）．

  1. 直線$l$ と$m$ の距離$d$ を，$\overrightarrow{\text{AB}}$ と$\vec{d}_l \times \vec{d}_m$ を用いて表せ．
  2. 点$\text{A}(5, 3, − 2)$，$\vec{d}_l = \left( \begin{array}{c} 2\\ 1\\ −1\\ \end{array} \right)$ ，点$\text{B}(2, − 1: 6)$， $\vec{d}_m = \left( \begin{array}{c} 1\\ −1\\ −5\\ \end{array} \right)$ とするとき直線$l$ と$m$の距離を求めよ．

  1. $\overrightarrow{\text{AB}}$ を$\vec{d}_l \times \vec{d}_m$ に正射影したベクトル$_{\overrightarrow{\text{AB}}\rightarrow}(\vec{d}_l \times \vec{d}_m)$ は\[_{\overrightarrow{\text{AB}}\rightarrow}(\vec{d}_l \times \vec{d}_m) = \dfrac{\overrightarrow{\text{AB}} \cdot (\vec{d}_l \times \vec{d}_m)}{\left|\vec{d}_l \times \vec{d}_m\right|^2} \vec{d}_l \times \vec{d}_m\] $\blacktriangleleft$空間の正射影ベクトルの内積での表し方

    であり， $\left|_{\overrightarrow{\text{AB}}\rightarrow}(\vec{d}_l \times \vec{d}_m) \right|$ が$d$ であるから

    \begin{align} &\left|_{\overrightarrow{\text{AB}}\rightarrow}(\vec{d}_l \times \vec{d}_m) \right|\\ & \\ =&\dfrac{\left|\overrightarrow{\text{AB}} \cdot(\vec{d}_l \times \vec{d}_m) \right|}{\left|\vec{d}_l \times \vec{d}_m\right|^2}\left|\vec{d}_l \times \vec{d}_m\right|\\ =&\boldsymbol{\dfrac{\left|\overrightarrow{\text{AB}} \cdot(\vec{d}_l \times \vec{d}_m) \right|}{\left|\vec{d}_l \times \vec{d}_m\right|} } \end{align}

  2. \[\overrightarrow{\text{AB}} =\overrightarrow{\text{OB}}−\overrightarrow{\text{OA}}\] \[ = \left( \begin{array}{c} 2\\ −1\\ 6\\ \end{array} \right) − \left( \begin{array}{c} 5\\ 3\\ −2\\ \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} −3\\ −4\\ 8\\ \end{array} \right)\] であり，$\vec{d}_l\times \vec{d}_m = \left( \begin{array}{c} 2\\ 1\\ −1\\ \end{array} \right) \times \left( \begin{array}{c} 1\\ −1\\ −5\\ \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} −6\\ 9\\ −3\\ \end{array} \right)$ であるから

    $\blacktriangleleft$外積の成分表示 \begin{align} d &=\dfrac{\left|\overrightarrow{\text{AB}} \cdot (\vec{d}_l \times \vec{d}_m) \right|}{\left|\vec{d}_l \times \vec{d}_m\right|}\\ &=\dfrac{\left|\left( \begin{array}{c} −3\\ −4\\ 8\\ \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} −6\\ 9\\ −3\\ \end{array} \right) \right|} {\left|\left( \begin{array}{c} −6\\ 9\\ −3\\ \end{array} \right) \right|}\\ &=\dfrac{\left| (−3) \cdot (−6) + (−4) \cdot 9 + 8 \cdot (−3) \right|} {\sqrt{(−6)^2 + 9^2 + (−3)^2}}\\ &= \dfrac{42}{3\sqrt{14}}=\boldsymbol{\sqrt{14}} \end{align}