平面のベクトル方程式

平面上の3点が与えられたとき

ここでは，同一直線上にない空間内の3 点$\text{A}(\vec{a})，\text{B}(\vec{b})，\text{C}(\vec{c})$ を含む平面$\alpha$を表すベクトル方程式を求めてみる．

平面上の3 点が与えられたときの図1

まず，平面$\alpha$上の点$\text{P}(\vec{p})$ に関して$\overrightarrow{\text{AP}}$ は，「ベクトルの1 次結合の定義」で見たように，平面上の1 次独立な2 つの$\overrightarrow{\text{AB}}$ と$\overrightarrow{\text{AC}}$ に分解して

\[\overrightarrow{\text{AP}} = s\overrightarrow{\text{AB}} + t\overrightarrow{\text{AC}}\]

と表すことができる．

平面上の3 点が与えられたときの図2

これを用いて$\overrightarrow{\text{OP}}$ は

\begin{align} \overrightarrow{\text{OP}} &=\overrightarrow{\text{OA}} +\overrightarrow{\text{AP}}\\ &=\overrightarrow{\text{OA}} + s\overrightarrow{\text{AB}} + t\overrightarrow{\text{AC}} \end{align}

と表すことができる．$\overrightarrow{\text{OP}} = \vec{p}$，$\overrightarrow{\text{OA}} = \vec{a}$，$\overrightarrow{\text{AB}} =\vec{b} − \vec{a}$，$\overrightarrow{\text{AC}} = \vec{c} − \vec{a}$ を用いて整理すると

\begin{align} \vec{p} &= \vec{a} + s(\vec{b} − \vec{a}) + t(\vec{c} − \vec{a})\\ &= (1 − s − t)\vec{a} + s\vec{b} + t\vec{c} \tag{1}\label{heimenjouno3tengaataeraretatoki1} \end{align} となる．

平面上の1点と法線ベクトルが与えられたとき

次に，平面$\alpha$上の1 点$\text{A}(\vec{a})$ と，$\alpha$法線ベクトル$\vec{n}$ が与えられた場合のベクトル方程式を求めてみる．

平面上の1 点と法線ベクトルが与えられたときの図

平面$\alpha$上の点$\text{P}(\vec{p})$ に関して$\overrightarrow{\text{AP}}$ は，法線ベクトル$\vec{n}$ と常に垂直になるから

\begin{align} &\vec{n} \cdot \overrightarrow{\text{AP}} = 0\\ \Leftrightarrow &\vec{n} \cdot (\vec{p} − \vec{a}) = 0 \tag{2}\label{heimenjouno1tentohousenbekutorugaataeraretatoki2} \end{align}

と表すことができる．

次に，座標空間内で成分表示されたベクトルのベクトル方程式をみていこう．

点$\text{A}(x_0, y_0, z_0)$ を通り，法線ベクトルが$\vec{n} = \left( \begin{array}{c} a\\ b\\ c\\ \end{array} \right)$ である平面$\alpha$上の点を$\text{P}(x, y, z)$ とすると，$\vec{a} = \left( \begin{array}{c} x_0\\ y_0\\ z_0\\ \end{array} \right)$ ，$\vec{p} = \left( \begin{array}{c} x\\ y\\ z\\ \end{array} \right)$ であるから，$\eqref{heimenjouno1tentohousenbekutorugaataeraretatoki2}$より

\begin{align} &\left( \begin{array}{c} a\\ b\\ c\\ \end{array} \right) \cdot \left( \left( \begin{array}{c} x\\ y\\ z\\ \end{array} \right) − \left( \begin{array}{c} x_0\\ y_0\\ z_0\\ \end{array} \right) \right) = 0 \\ \Leftrightarrow &\left( \begin{array}{c} a\\ b\\ c\\ \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} x − x_0\\ y − y_0\\ z − z_0\\ \end{array} \right) = 0\\ \Leftrightarrow &a(x − x_0) + b(y − y_0) + c(z − z_0) = 0 \end{align} となる．

平面のベクトル方程式

  1. 点$\text{A}(x_0, y_0, z_0)$ と平面$ax + by + cz + d = 0$ の距離を$p$ とすると

    \[p =\dfrac{\left|ax_0 + by_0 + cz_0 + d\right|}{ \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}\]

    であることを証明せよ．

  2. 点$(1, 1, 1)$ と平面$3x + 6y + 2z + 3 = 0$ との距離を求めよ．

  1. 点$\text{A}$ から平面に下ろした垂線と平面との交点を$\text{P}(x_1, x_2, x_3)$ とすると，平面の法線ベクトル$\vec{n} = \left( \begin{array}{c} a\\ b\\ c\\ \end{array} \right)$ と$\overrightarrow{\text{PA}}$ のなす角度は$0^\circ$ もしくは$180^\circ$ であるので

    \begin{align} &1 =\left|\dfrac{\vec{n} \cdot \overrightarrow{\text{PA}}}{\left|\vec{n}\right| \cdot \left|\overrightarrow{\text{PA}}\right|}\right|\\ \Leftrightarrow &\left|\overrightarrow{\text{PA}}\right| =\dfrac{\left|\vec{n} \cdot \overrightarrow{\text{PA}}\right|}{\left|\vec{n}\right|}\\ &= \dfrac{\left| \left( \begin{array}{c} a\\ b\\ c\\ \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} x_0 − x_1\\ y_0 − y_1\\ z_0 – z_1\\ \end{array} \right) \right|} {\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}\\ \Leftrightarrow &\left|\overrightarrow{\text{PA}}\right|\\ &= \dfrac{\left|a(x_0 − x_1) + b(y_0 − y_1) + c(z_0 − z_1) \right|}{ \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}\\ \Leftrightarrow &\left|\overrightarrow{\text{PA}}\right| = \dfrac{\left|ax_0 + by_0 + cz_0 + d\right|}{ \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} \end{align} $\blacktriangleleft$ 点$\text{P}$ は平面上にあるので，$ax_1 +by_1 + cz_1 + d = 0$ が成立することを用いた

    ここで，$\overrightarrow{\text{PA}} = p$ であるので，

    $p =\dfrac{\left|ax_0 + by_0 + cz_0 + d\right|}{ \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$となる．

  2. 1. の関係を用いて \[p =\dfrac{\left|3 \cdot 1 + 6 \cdot 1 + 2 \cdot 1 + 3\right|}{ \sqrt{3^2 + 6^2 + 2^2}}= 2\]