球面のベクトル方程式

中心と半径が与えられたとき（空間）

点$\text{C}(\vec{c})$ を中心とする，半径$r$ の球を$S$ とする．このとき，この球面上を動くの点$\text{P}$ の位置ベクトル$\vec{p}$ の表し方を考えよう．

中心と半径が与えられたときの図

点$\text{P}$ が球$S$ 上にあるとき，常に線分$\text{CP}$ の長さは$r$，すなわち$\left|\overrightarrow{\text{CP}}\right| = r$ となるから

\begin{align} &\left|\overrightarrow{\text{CP}}\right| = r\\ \Leftrightarrow& \left|\vec{p} −\vec{c}\right| = r \tag{1}\label{chuushintohankeigaataeraretatoki1} \end{align}

が成り立つ．この$\eqref{chuushintohankeigaataeraretatoki1}$を球$S$ベクトル方程式という．

また，座標空間内で$\vec{c}$ が$\vec{c} = \left( \begin{array}{c} x_0\\ y_0\\ z_0\\ \end{array} \right)$ と成分表示された場合， $\vec{p} = \left( \begin{array}{c} x\\ y\\ z\\ \end{array} \right)$ とおくと

\begin{align} &\left|\vec{p} −\vec{c}\right| = r \\ \Leftrightarrow &\left|\left( \begin{array}{c} x\\ y\\ z\\ \end{array} \right) − \left( \begin{array}{c} x_0\\ y_0\\ z_0\\ \end{array} \right) \right| = r \Leftrightarrow \left|\left( \begin{array}{c} x − x_0\\ y − y_0\\ z − z_0\\ \end{array} \right) \right| = r\\ \Leftrightarrow &\sqrt{(x − x_0)^2 + (y − y_0)^2 + (z − z_0)^2} = r\\ \Leftrightarrow &(x − x_0)^2 + (y − y_0)^2 + (z − z_0)^2 = r^2 \end{align}

となり，これを座標空間における球の方程式という．

直径の両端が与えられたとき（空間）

異なる2 点$\text{A}(\vec{a})$ と$\text{B}(\vec{b})$ を直径の両端とするの球を$S$ とする．このとき，この球面上を動くの点$\text{P}$ の位置ベクトル$\vec{p}$ の表し方を考えよう．

直径の両端が与えられたときの図

点$\text{P}$ が球$S$ 上にあるとき，常に線分$\text{AP}$ と$\text{BP}$ は直交，すなわち$\overrightarrow{\text{AP}} \cdot \overrightarrow{\text{BP}} = 0$ となるから

\begin{align} &\overrightarrow{\text{AP}} \cdot \overrightarrow{\text{BP}} = 0\\ \Leftrightarrow &(\vec{p} − \vec{a}) \cdot (\vec{p} − \vec{b}) = 0 \tag{2}\label{chokkeinoryoutangaataeraretatoki2} \end{align}

が成り立つ．この$\eqref{chokkeinoryoutangaataeraretatoki2}$も球$S$ のベクトル方程式である．

また，座標空間内で$\vec{a}$ が$\vec{a} = \left( \begin{array}{c} a_x\\ a_y\\ a_z\\ \end{array} \right) ，\vec{b} = \left( \begin{array}{c} b_x\\ b_y\\ b_z\\ \end{array} \right)$ と成分表示された場合，$\vec{p} = \left( \begin{array}{c} x\\ y\\ z\\ \end{array} \right)$ とおくと

\begin{align} &(\vec{p} − \vec{a}) \cdot (\vec{p} − \vec{b}) = 0\\ \Leftrightarrow &\left( \left( \begin{array}{c} x\\ y\\ z\\ \end{array} \right) − \left( \begin{array}{c} a_x\\ a_y\\ a_z\\ \end{array} \right) \right) \cdot \left( \left( \begin{array}{c} x\\ y\\ z\\ \end{array} \right) − \left( \begin{array}{c} a_x\\ a_y\\ a_z\\ \end{array} \right) \right) = 0\\ \Leftrightarrow &\left( \begin{array}{c} x – a_x\\ y – a_y\\ z – a_z\\ \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} x − b_x\\ y – b_y\\ z – b_z\\ \end{array} \right) = 0\\ \Leftrightarrow &(x − a_x)(x − b_x) + (y − a_y)(y − b_y) \\ &\qquad \qquad + (z − a_z)(z − b_z) = 0 \end{align}

となり，これは2 点$\text{A}(a_x, a_y, a_z)$，$\text{B}(b_x, b_y, b_z)$ を直径とする球の方程式を表す．

球面のベクトル方程式

以下の条件を満たす球面の方程式を求めよ．

  1. 中心が$(1, − 2, 3)$ で，半径が$4$
  2. 中心が原点で，点$(6, 3, 2)$ を通る
  3. 直径の両端が$(5, − 2, 2)，(1, 6, 4)$

  1. 中心と半径が与えられたとき円のベクトル方程式より

    \begin{align} &\Leftrightarrow \left|\vec{p} −\vec{c}\right| = 4\\ &\Leftrightarrow \left| \left( \begin{array}{c} x\\ y\\ z\\ \end{array} \right) − \left( \begin{array}{c} 1\\ −2\\ 3\\ \end{array} \right) \right| = 4\\ &\Leftrightarrow \sqrt{(x − 1)^2 + (y + 2)^2 + (z − 3)^2 }= 4\\ &\therefore \boldsymbol{ (x − 1)^2 + (y + 2)^2 + (z − 3)^2 = 16} \end{align}

  2. 中心が原点なので，半径を$r$ とすると

    \[x^2 + y^2 + z^2 = r^2\]

    となる．ここで，$(6, 3, 2)$ を通ることより

    \[6^2 + 3^2 + 2^2 = r^2 \Leftrightarrow r^2 = 49\]

    したがって，求める方程式は$\boldsymbol{x^2 + y^2 + z^2 = 49}$ である．

  3. 直径の両端が与えられたときのベクトル方程式より

    \begin{align} &(\vec{p} − \vec{a}) \cdot (\vec{p} − \vec{b}) = 0\\ \Leftrightarrow &\left( \begin{array}{c} x – 5\\ y + 2\\ z – 2\\ \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} x – 1\\ y – 6\\ z – 4\\ \end{array} \right) = 0\\ \Leftrightarrow &(x − 5)(x − 1) + (y + 2)(y − 6)\\ &\qquad\qquad \qquad + (z − 2)(z − 4) = 0\\ \Leftrightarrow &\boldsymbol{ (x − 3)^2 + (y − 2)^2 + (z − 3)^2 = 21} \end{align}