確率変数と確率分布

10本のくじがあり，そこから1本のくじを引くという試行を考える． A賞が当ると1000円，B賞が当ると500円，C賞が当ると100円もらえるものとする．

\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline 賞&A賞&B賞&C賞\\\hline 賞金（円）&1000&500&100\\\hline 本数（本）&2&3&5\\\hline \end{array}

A賞，B賞，C賞の当る確率は，それぞれ $\frac{2}{10},\frac{3}{10},\frac{5}{10}$ であるから，賞金と確率の関係は表のようにまとめることができる．

\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline 賞金（円）&1000&500&100\\\hline 確率&\frac{2}{10}&\frac{3}{10}&\frac{5}{10}\\\hline \end{array}

ここで，1本のくじを引いた結果もらえる賞金を $X$ 円とすれば， $X$ は1000，500，100のどれかの値をとる． このとき， $X$ がどの値をとるかは試行の結果によって決まる．

また， $X=1000$ となるときの確率を $P(X=1000)$ のように書くとすると，これはA賞に当るという事象の確率であるから

\[P(X=1000)=\frac{2}{10}\]

と書くことができる．他のものも同様にして

\[P(X=500)=\frac{3}{10},P(X=100)=\frac{5}{10}\]

と書ける．

一般に，いまの $X$ のように，試行の結果によってその値が定まる変数を確率変数（probability variable）という． 確率変数を表すのには，大文字のアルファベット $X,Y,Z$ を使うことが多い．

先程まとめた表

\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline 賞金（円）&1000&500&100\\\hline 確率&\frac{2}{10}&\frac{3}{10}&\frac{5}{10}\\\hline \end{array}

は，確率変数と，その値となるときの確率の対応を示したものであり， この対応のことを確率分布（probability distribution）という．確率分布を上のように表にしてまとめたものを確率分布表（probability distribution chart）という

確率変数 $X$ が， $x_1,x_2,x_3,\cdots,x_n$ という値をとる試行での確率分布が

\[P(X=x_i)=p_i\quad(i=1,2,3,\cdots,n)\]

とすると，確率分布表は

\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}\hline X&x_1&x_2&x_3&\cdots&x_n&計\\\hline P&p_1&p_2&p_3&\cdots&p_n&1\\\hline \end{array}

となる．