確率変数と確率分布

確率変数とは何か

10本のくじがあり,そこから1本のくじを引くという試行を考える. A賞が当ると1000円,B賞が当ると500円,C賞が当ると100円もらえるものとする.

\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline 賞&A賞&B賞&C賞\\\hline 賞金(円)&1000&500&100\\\hline 本数(本)&2&3&5\\\hline \end{array}

A賞,B賞,C賞の当る確率は,それぞれ $\frac{2}{10},\frac{3}{10},\frac{5}{10}$ であるから,賞金と確率の関係は表のようにまとめることができる.

\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline 賞金(円)&1000&500&100\\\hline 確率&\frac{2}{10}&\frac{3}{10}&\frac{5}{10}\\\hline \end{array}

ここで,1本のくじを引いた結果もらえる賞金を $X$ 円とすれば, $X$ は1000,500,100のどれかの値をとる. このとき, $X$ がどの値をとるかは試行の結果によって決まる.

また, $X=1000$ となるときの確率を $P(X=1000)$ のように書くとすると,これはA賞に当るという事象の確率であるから

\[P(X=1000)=\frac{2}{10}\]

と書くことができる.他のものも同様にして

\[P(X=500)=\frac{3}{10},P(X=100)=\frac{5}{10}\]

と書ける.

一般に,いまの $X$ のように,試行の結果によってその値が定まる変数を確率変数(probability variable)という. 確率変数を表すのには,大文字のアルファベット $X,Y,Z$ を使うことが多い.

確率分布とは何か

(無題)

先程まとめた表

\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline 賞金(円)&1000&500&100\\\hline 確率&\frac{2}{10}&\frac{3}{10}&\frac{5}{10}\\\hline \end{array}

は,確率変数と,その値となるときの確率の対応を示したものであり, この対応のことを確率分布(probability distribution)という.確率分布を上のように表にしてまとめたものを確率分布表(probability distribution chart)という

確率変数 $X$ が, $x_1,x_2,x_3,\cdots,x_n$ という値をとる試行での確率分布が

\[P(X=x_i)=p_i\quad(i=1,2,3,\cdots,n)\]

とすると,確率分布表は

\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}\hline X&x_1&x_2&x_3&\cdots&x_n&計\\\hline P&p_1&p_2&p_3&\cdots&p_n&1\\\hline \end{array}

となる.