期待値

期待値とは何か

さて，先程のくじ引きにおいて，このくじを1回引くとき，平均していくらの賞金が期待できるかについて考えてみよう．

$\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline X&1000&500&100\\\hline P&\frac{2}{10}&\frac{3}{10}&\frac{5}{10}\\\hline \end{array}$

このくじの賞金は総額で

$\begin{align} 1000円\times2本+500円\times3本+100円\times5本&\\ =4000円& \end{align}$

であるから，くじ1本あたりの賞金は，平均して

$4000円\div10本=400円$

と考えられる．

この計算の見方を少し変えると（総額= $money$ , くじの本数= $kuzibiki$ とすると）

$\begin{align} &\frac{money}{kuzibiki}\\ =&\frac{1000\times2+500\times3+100\times5}{10}\\ =&\underbrace{1000}_{確率変数}\times\underbrace{\frac{2}{10}}_{確率}+\underbrace{500}_{確率変数}\times\underbrace{\frac{3}{10}}_{確率}+\underbrace{100}_{確率変数}\times\underbrace{\frac{5}{10}}_{確率} \end{align}$

と表すこともできる．

一般に，確率変数 $X$ のとり得る値のすべてが

$x_1,x_2,x_3,\cdots,x_n$

であり，その値をとるときの確率がそれぞれ

$\begin{align} &p_1,p_2,p_3,\cdots,p_n\\ &\qquad(p_1+p_2+p_3+\cdots+p_n=1) \end{align}$

であるとする．つまり，確率分布が $P(X=x_i)=p_i\quad(i=1,2,3,\cdots,n)$ のとき

$x_1p_1+x_2p_2+x_3p_3+\cdots+x_np_n$

の値を，確率変数 $X$ の期待値（expextation）または平均（mean）といい $\boldsymbol{E(X)}$ と表す．

先程のくじ引きの例では，くじ1本あたりの賞金の平均値が期待値である．

期待値の $E(X)$ の定義

確率分布が $P(X=x_i)=p_i\quad(i=1,2,3,\cdots,n)$ のとき，

期待値 $E(X)$ を

$E(X)=x_1p_1+x_2p_2+x_3p_3+\cdots+x_np_n$

と定義する．

期待値の計算～その1～

次の1. と2. ではどちらが有利と考えられるか．

さいころを1回振り，（出た目） $\times$ 100円もらえる．
さいころを2回振り，1回でも6の目が出たら1200円もらえる．

1. と2. それぞれの期待値を求めてから判断する.

期待値の計算～その1～の解答

もらえる金額を $X$ 円とすると，確率分布は

$X$	$100$	$200$	$300$	$400$	$500$	$600$	計
$P$	$\dfrac{1}{6}$	$\dfrac{1}{6}$	$\dfrac{1}{6}$	$\dfrac{1}{6}$	$\dfrac{1}{6}$	$\dfrac{1}{6}$	$1$

となるから，期待値 $E(X)$ は

$\begin{align} E(X)&=\frac{1}{6}(100+200+300\\ &\qquad\qquad+400+500+600)\\ &=350 \end{align}$

2回のさいころの結果，出る目の順列は $_{6}\Pi_{2}=36$ 通りあり，これらは同様に確からしい．このうち，1回でも6の目が出るのは，（数えて）11通りあるので，もらえる金額を $Y$ 円とすると，確率分布は

$\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline Y&0&1200&計\\\hline P&\frac{25}{36}&\frac{11}{36}&1\\\hline \end{array}$

となる．よって，期待値 $E(Y)$ は

$E(Y)=\frac{11}{36}\times1200=\frac{1100}{3}\fallingdotseq367$

以上1. と2. の期待値の結果から，

2. の方が有利

と考えられる．

期待値の計算～その2～

次の問いに答えよ．ただし，計算には期待値の定義を使うこと．

1，2，3，4と数字の書いてあるカードがそれぞれ1枚ずつ計4枚ある．カードを2枚引くとき，そのカードの番号の和を確率変数 $X$ として，期待値 $E(X)$ を求めよ．また，カードの番号の積を確率変数 $Y$ として，期待値 $E(Y)$ を求めよ．
1，2，3の数字の書いてあるくじ（引いたら元に戻すものとする）を2回引き，その数字の和を確率変数 $X$ として，期待値 $E(X)$ を求めよ．また，数字の積を確率変数 $Y$ として，期待値 $E(Y)$ を求めよ．

期待値の計算～その2～の解答

確率変数 $X$ の確率分布は次のようになる．

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}\hline X&3&4&5&6&7\\\hline P&\frac{1}{6}&\frac{1}{6}&\frac{2}{6}&\frac{1}{6}&\frac{1}{6}\\\hline \end{array}$

$E(X)=\frac{1}{6}(3+4+5\cdot2+6+7)=\boldsymbol{5}$

また，確率変数 $Y$ の確率分布は次のようになる．

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}\hline X&2&3&4&6&8&12\\\hline P&\frac{1}{6}&\frac{1}{6}&\frac{1}{6}&\frac{1}{6}&\frac{1}{6}&\frac{1}{6}\\\hline \end{array}$

$E(Y)=\frac{1}{6}(2+3+4+6+8+12)=\boldsymbol{\frac{35}{6}}$

確率変数 $X$ の確率分布は次のようになる．

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}\hline X&2&3&4&5&6\\\hline P&\frac{1}{9}&\frac{2}{9}&\frac{3}{9}&\frac{2}{9}&\frac{1}{9}\\\hline \end{array}$

$\begin{align} E(X)=&\frac{1}{9}(2+3\cdot2+4\cdot3+5\cdot2+6)\\ =&\boldsymbol{4} \end{align}$

また，確率変数 $Y$ の確率分布は次のようになる．

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}\hline X&1&2&3&4&6&9\\\hline P&\frac{1}{9}&\frac{2}{9}&\frac{2}{9}&\frac{1}{9}&\frac{2}{9}&\frac{1}{9}\\\hline \end{array}$

$\begin{align} &E(Y)\\ =&\frac{1}{9}(1+2\cdot2+3\cdot2+4+6\cdot2+9)\\ =&\boldsymbol{4} \end{align}$

確率変数の1次式の期待値

確率変数 $X$ のとる値が $x_1,x_2,\cdots,x_n$ のとき， $X$ の1次式 $aX+b$ は

$ax_1+b,ax_2+b,\cdots,ax_n+b$

という値をとる，別の新しい確率変数であると考える．

確率分布を $P(X=x_i)=p_i\quad(i=1,2,\cdots,n)$ とすると， $a\neq0$ ならば

$P(aX+b=ax_i+b)=P(X=x_i)=p_i$

が成り立つ．

よって，確率変数 $aX+b$ の期待値 $E(aX+b)$ は

$\begin{align} E(aX+b)=&(ax_1+b)p_1+(ax_2+b)p_2\\ &\qquad\qquad+\cdots+(ax_n+b)p_n \end{align}$

となる．

確率変数の１次式の期待値

さいころ投げを1回行い，出た目を確率変数 $X$ とするとき， $E(2X+1)$ を求めよ．

確率変数の１次式の期待値の解答

$2X+1$ の確率分布は次のようになる.

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}\hline X&3&5&7&9&11&13\\\hline P&\frac{1}{6}&\frac{1}{6}&\frac{1}{6}&\frac{1}{6}&\frac{1}{6}&\frac{1}{6}\\\hline \end{array}$

これより

$\begin{align} E(2X+1)&=\frac{1}{6}(3+5+7+9+11+13)\\ &=\boldsymbol{8} \end{align}$

$\blacktriangleleft$ （参考） $X$ の確率分布

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}\hline X&1&2&3&4&5&6\\\hline P&\frac{1}{6}&\frac{1}{6}&\frac{1}{6}&\frac{1}{6}&\frac{1}{6}&\frac{1}{6}\\\hline \end{array}$

$E(X)=\frac{1}{6}(1+2+3+4+5+6)=\frac{7}{2}$

いま，この例題において，確率変数 $2X+1$ の計算の様子をわかりやすくするため

2X+1	2 $\cdot$ 1+1	2 $\cdot$ 2+1	2 $\cdot$ 3+1	2 $\cdot$ 4+1	2 $\cdot$ 5+1	2 $\cdot$ 6+1
P	$\dfrac{1}{6}$	$\dfrac{1}{6}$	$\dfrac{1}{6}$	$\dfrac{1}{6}$	$\dfrac{1}{6}$	$\dfrac{1}{6}$

となおしてから，期待値 $E(2X+1)$ を計算してみると

$\begin{align} &E(2X+1)\\ =&\ \frac{1}{6}\{\ (2\cdot1+1)+(2\cdot2+1)+\\ &\qquad(2\cdot3+1)+(2\cdot4+1)+\\ &\qquad(2\cdot5+1)+(2\cdot6+1)\ \}\\ =&\ \frac{1}{6}\left\{2(1+2+3+4+5+6)+6\right\}\\ &\uparrow Xの係数2でくくれる部分をくくった\\ =&\ 2\cdot\frac{1}{6}(1+2+3+4+5+6)+1\\ =&\ 2E(X)+1 \end{align}$

つまり， $E(2X+1)=2E(X)+1$ が成り立つ．

暗記確率変数の１次式の期待値

$X$ を確率変数， $a,b$ を定数とするとき

$E(aX+b)=aE(X)+b$

が成り立つことを証明せよ.

確率変数の１次式の期待値の解答

確率変数 $X$ の確率分布を

$P(X=x_i)=p_i\quad(i=1,2,\cdots,n)$

とする（ $n$ は自然数）このとき

$\begin{align} &E(aX+b)\\ =&(ax_1+b)p_1+(ax_2+b)p_2\\ &\qquad+\cdots+(ax_n+b)p_n\\ =&(ax_1p_1+bp_1)+(ax_2p_2+bp_2)\\ &\qquad+\cdots+(ax_np_n+bp_n)\\ =&a(x_1p_1+x_2p_2+\cdots+x_np_n)\\ &\qquad+b(p_1+p_2+\cdots+p_n)\\ &\blacktriangleleft Xの係数aでくくれる部分をくくった\\ &\qquad（bでもくくった）\\ =&aE(X)+b \end{align}$

確率変数の１次式の期待値の公式

$X$ を確率変数， $a,b$ を定数とするとき

$E(aX+b)=aE(X)+b$

が成り立つ．

吹き出し無題

この公式は，確率変数を $a$ 倍すれば，期待値（平均）は $a$ 倍になり，確率変数に $b$ を加えれば，期待値は $b$ だけ大きくなることを主張している．感覚的には明らかといえるだろう．

確率変数の和の期待値

確率変数 $X$ の確率分布が $P(X=x_i)=p_{x_i}\quad(i=1,2,\cdots,n)$ ，確率変数 $Y$ の確率分布が $P(Y=y_i)=p_{y_j}\quad(j=1,2,\cdots,m)$ ，となる試行を考える．

$X$ が値 $x$ をとり， $Y$ が値 $y$ をとる確率を $P(X=x,Y=y)$ と書くとし

$P(X=x_i,Y=y_j)=p_{ij}$

とする．

2つの確率変数 $X,Y$ はいろいろな値をとるが，それらを足した値をもまたいろいろな値をとり，この値を別の新たな確率変数と考えることもできる．この新しい確率変数 $Z$ を

$Z=X+Y$

と書くことにする． $Z$ の確率分布表は以下のようになる．

	$y_1$	$y_2$	$\cdots$	$y_m$
$x_1$	$x_1+y_1$	$x_1+y_2$		$x_1+y_m$	計
$x_1$	$p_{11}$	$p_{12}$		$p_{1m}$	$p_{x_1}$
$x_2$	$x_2+y_1$	$x_2+y_2$		$x_2+y_m$	計
$x_2$	$p_{21}$	$p_{22}$		$p_{2m}$	$p_{x_2}$
$\vdots$					$\vdots$
$\vdots$					$\vdots$
$x_n$	$x_n+y_1$	$x_n+y_2$		$x_n+y_m$	計
$x_n$	$p_{n1}$	$p_{n2}$		$p_{nm}$	$p_{x_n}$
	計	計		計	計
	$p_{y_1}$	$p_{y_2}$		$p_{y_m}$	$1$

このとき， $Z$ の期待値 $E(Z)$ は

$\begin{align} E(Z)=&(x_1+y_1)p_{11}+\cdots+(x_1+y_m)p_{1m}\\ +&(x_2+y_1)p_{21}+\cdots+(x_2+y_m)p_{2m}\\ &\qquad\quad\qquad\qquad\vdots\\ +&(x_n+y_1)p_{n1}+\cdots+(x_n+y_m)p_{nm} \end{align}$

確率変数の和の期待値

硬貨1枚とさいころ1個を投げる試行を考える．硬貨に表が出たときは1，裏が出たときは0を対応させる確率変数を $X$ とする．また，さいころに出た目を確率変数 $Y$ とする． $E(X+Y)$ を求めよ．

確率変数の和の期待値の解答

$Z=X+Y$ とすると， $Z$ のとる値は1から7までの整数となる．

例えば， $Z=2$ となるのは $X=1,Y=1$ のときか， $X=0,Y=2$ のときであり，これらは排反であるから

$\begin{align} P(Z=2)=&P(X=1,Y=1)\\ &\qquad+P(X=0,Y=2)\\ =&\frac{2}{12} \end{align}$

である．同様にして，計算すると次のようにまとめられる．

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline Z&1&2&3&4&5&6&7\\\hline P&\dfrac{1}{12}&\dfrac{2}{12}&\dfrac{2}{12}&\dfrac{2}{12}&\dfrac{2}{12}&\dfrac{2}{12}&\dfrac{1}{12}\\\hline \end{array}$

これより， $Z$ の期待値 $E(Z)$ は

$\begin{align} E(Z)=&\frac{1}{12}(1+2\cdot2+2\cdot3+2\cdot4\\ &\qquad+2\cdot5+2\cdot6+7)\\ =&\boldsymbol{4} \end{align}$

となる．

$\blacktriangleleft$ （参考1） $X$ の確率分布

$\begin{array}{|c|c|c|}\hline X&0&1\\\hline P&\dfrac{1}{2}&\dfrac{1}{2}\\\hline \end{array}$

$E(X)=\dfrac{1}{2}$

$\blacktriangleleft$ （参考2） $Y$ の確率分布

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}\hline Y&1&2&3&4&5&6\\\hline P&\dfrac{1}{6}&\dfrac{1}{6}&\dfrac{1}{6}&\dfrac{1}{6}&\dfrac{1}{6}&\dfrac{1}{6}\\\hline \end{array}$

$E(X)=\dfrac{1}{6}(1+2+3+4+5+6)=\dfrac{7}{2}$

いま，この例題において，確率変数 $X+Y$ の計算の様子をわかりやすくするため

	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$

$0$	$0+1$	$0+2$	$0+3$	$0+4$	$0+5$	$0+6$	計
$0$	$\dfrac{1}{12}$	$\dfrac{1}{12}$	$\dfrac{1}{12}$	$\dfrac{1}{12}$	$\dfrac{1}{12}$	$\dfrac{1}{12}$	$\dfrac{1}{2}$

$1$	$1+1$	$1+2$	$1+3$	$1+4$	$1+5$	$1+6$	計
$1$	$\dfrac{1}{12}$	$\dfrac{1}{12}$	$\dfrac{1}{12}$	$\dfrac{1}{12}$	$\dfrac{1}{12}$	$\dfrac{1}{12}$	$\dfrac{1}{2}$

	計	計	計	計	計	計	計
	$\dfrac{1}{6}$	$\dfrac{1}{6}$	$\dfrac{1}{6}$	$\dfrac{1}{6}$	$\dfrac{1}{6}$	$\dfrac{1}{6}$	$1$

となおしてから，期待値 $E(X+Y)$ を計算してみると

$\begin{align} &E(X+Y)\\ =&\ \frac{1}{12}\{(0+1)+(0+2)+(0+3)\\ &\qquad+(0+4)+(0+5)+(0+6)\}\\ &+\frac{1}{12}\{(1+1)+(1+2)+(1+3)\\ &\qquad+(1+4)+(1+5)+(1+6)\}\\ =&\ \left\{6\cdot\frac{1}{12}\cdot0+6\cdot\frac{1}{12}\cdot1\right\}\\ &+\left\{2\cdot\frac{1}{12}\cdot(1+2+3+4+5+6)\right\}\\ =&\ \left(\frac{1}{2}\cdot0+\frac{1}{2}\cdot1\right)\\ &+\left\{\frac{1}{6}\cdot(1+2+3+4+5+6)\right\}\\ =&\ E(X)+E(Y) \end{align}$

つまり， $E(X+Y)=E(X)+E(Y)$ が成り立つ．

暗記確率変数の和の期待値

$X,Y$ を確率変数とするとき

$E(X+Y)=E(X)+E(Y)$

が成り立つことを証明せよ．

確率変数の和の期待値の解答

確率変数 $X$ の確率分布を $P(X=x_i)=p_{x_i}\quad(i=1,2,\cdots,n)$ ，

確率変数 $Y$ の確率分布を $P(Y=y_i)=p_{y_j}\quad(j=1,2,\cdots,m)$ ，とし

$P(X=x_i,Y=y_j)=p_{ij}$

とする．

$X+Y$ の確率分布表は以下のようになる．

	$y_1$	$y_2$	$\cdots$	$y_m$
$x_1$	$x_1+y_1$	$x_1+y_2$		$x_1+y_m$	計
$x_1$	$p_{11}$	$p_{12}$		$p_{1m}$	$p_{x_1}$
$x_2$	$x_2+y_1$	$x_2+y_2$		$x_2+y_m$	計
$x_2$	$p_{21}$	$p_{22}$		$p_{2m}$	$p_{x_2}$
$\vdots$					$\vdots$
$\vdots$					$\vdots$
$x_n$	$x_n+y_1$	$x_n+y_2$		$x_n+y_m$	計
$x_n$	$p_{n1}$	$p_{n2}$		$p_{nm}$	$p_{x_n}$
	計	計		計	計
	$p_{y_1}$	$p_{y_2}$		$p_{y_m}$	$1$

このとき， $X+Y$ の期待値 $E(X+Y)$ は

$\begin{align} &E(X+Y)\\ =&(x_1+y_1)p_{11}+(x_1+y_2)p_{12}\\ &\qquad+\cdots+(x_1+y_m)p_{1m}\\ &+(x_2+y_1)p_{21}+(x_2+y_2)p_{22}\\ &\qquad+\cdots+(x_2+y_m)p_{2m}\\ &+\cdots\\ &+(x_n+y_1)p_{n1}+(x_n+y_2)p_{n2}\\ &\qquad+\cdots+(x_n+y_m)p_{nm}\\ =&x_1(p_{11}+p_{12}+\cdots+p_{1m})\\ &+x_2(p_{21}+p_{22}+\cdots+p_{2m})\\ &+\cdots\\ &+x_n(p_{n1}+p_{n2}+\cdots+p_{nm})\\ &+y_1(p_{11}+p_{21}+\cdots+p_{n1})\\ &+y_2(p_{12}+p_{22}+\cdots+p_{n2})\\ &+\cdots\\ &+y_m(p_{1m}+p_{2m}+\cdots+p_{nm})\\ =&(x_1p_{x_1}+x_2p_{x_2}+\cdots+x_np_{x_n})\\ &+(y_1p_{y_1}+y_2p_{y_2}+\cdots+y_np_{y_m})\\ =&E(X)+E(Y) \end{align}$

確率変数の和の期待値の公式

$X,Y$ を確率変数とするとき

$E(X+Y)=E(X)+E(Y)$

が成り立つ．

独立な確率変数の積の期待値

硬貨投げとさいころ投げのように，独立試行では確率変数 $X,Y$ のとる値すべての組 $x_i,y_j$ に対して

$P(X=x_i,Y=y_j)=P(X=x_i)\cdot P(Y=y_j)$

が成り立つ．

一般に，2つの確率変数 $X,Y$ があって， $X$ のとるすべての値 $x$ と $Y$ のとる値 $y$ に対して

$P(X=x,Y=y)=P(X=x)\cdot P(Y=y)$

が成り立つとき，確率変数 $X,Y$ は互いに独立（independent）であるという．

独立な確率変数の積の期待値

硬貨1枚とさいころ1個を投げる試行を考える．硬貨に表が出たときは1，裏が出たときは0を対応させる確率変数を $X$ とする．また，さいころに出た目を確率変数 $Y$ とする． $E(XY)$ を求めよ．

独立な確率変数の積の期待値の解答

$Z=XY$ とすると， $Z$ のとる値は0から6までの整数となる．

例えば， $Z=2$ となるのは $X=1,Y=2$ のときであるから

$P(Z=2)=P(X=1,Y=2)=\frac{1}{12}$

である．同様にして，計算すると次のようにまとめられる．

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline Z&0&1&2&3&4&5&6\\\hline P&\dfrac{6}{12}&\dfrac{1}{12}&\dfrac{1}{12}&\dfrac{1}{12}&\dfrac{1}{12}&\dfrac{1}{12}&\dfrac{1}{12}\\\hline \end{array}$

これより， $Z$ の期待値 $E(Z)$ は

$\begin{align} E(Z)&=\frac{6}{12}\cdot0+\frac{1}{12}(1+2+3+4+5+6)\\ &=\boldsymbol{\frac{7}{4}} \end{align}$

となる．

$\blacktriangleleft$ （参考1） $X$ の確率分布

$\begin{array}{|c|c|c|}\hline X&0&1\\\hline P&\dfrac{1}{2}&\dfrac{1}{2}\\\hline \end{array}$

$E(X)=\dfrac{1}{2}$

$\blacktriangleleft$ （参考2） $Y$ の確率分布

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}\hline Y&1&2&3&4&5&6\\\hline P&\dfrac{1}{6}&\dfrac{1}{6}&\dfrac{1}{6}&\dfrac{1}{6}&\dfrac{1}{6}&\dfrac{1}{6}\\\hline \end{array}$

$E(X)=\dfrac{1}{6}(1+2+3+4+5+6)=\dfrac{7}{2}$

いま，この例題において，確率変数 $XY$ の計算の様子をわかりやすくするため

	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$

$0$	$0\cdot1$	$0\cdot2$	$0\cdot3$	$0\cdot4$	$0\cdot5$	$0\cdot6$	計
$0$	$\dfrac{1}{12}$	$\dfrac{1}{12}$	$\dfrac{1}{12}$	$\dfrac{1}{12}$	$\dfrac{1}{12}$	$\dfrac{1}{12}$	$\dfrac{1}{2}$

$1$	$1\cdot1$	$1\cdot2$	$1\cdot3$	$1\cdot4$	$1\cdot5$	$1\cdot6$	計
$1$	$\dfrac{1}{12}$	$\dfrac{1}{12}$	$\dfrac{1}{12}$	$\dfrac{1}{12}$	$\dfrac{1}{12}$	$\dfrac{1}{12}$	$\dfrac{1}{2}$

	計	計	計	計	計	計	計
	$\dfrac{1}{6}$	$\dfrac{1}{6}$	$\dfrac{1}{6}$	$\dfrac{1}{6}$	$\dfrac{1}{6}$	$\dfrac{1}{6}$	$1$

となおしてから，期待値 $E(XY)$ を計算してみると

$\begin{align} E(XY)&=\frac{1}{12}\{(0\cdot1)+(0\cdot2)+(0\cdot3)\\ &\qquad+(0\cdot4)+(0\cdot5)+(0\cdot6)\}\\ &+\frac{1}{12}\{(1\cdot1)+(1\cdot2)+(1\cdot3)\\ &\qquad+(1\cdot4)+(1\cdot5)+(1\cdot6)\}\\ &=\frac{1}{12}\cdot0\cdot(1+2+3+4+5+6)\\ &\qquad+\frac{1}{12}\cdot1\cdot(1+2+3+4+5+6)\\ &=\frac{1}{12}(0+1)(1+2+3+4+5+6)\\ &=\frac{1}{2}(0+1)\\ &\qquad\cdot\frac{1}{6}(1+2+3+4+5+6)\\ &=E(X)\cdot E(Y) \end{align}$

つまり， $E(X+Y)=E(X)E(Y)$ が成り立つ．

暗記独立な確率変数の積の期待値

$X,Y$ を独立な確率変数とするとき

$E(XY)=E(X)E(Y)$

が成り立つことを証明せよ．

独立な確率変数の積の期待値の解答

確率変数 $X$ の確率分布を $P(X=x_i)=p_{x_i}\quad(i=1,2,\cdots,n)$ ，

確率変数 $Y$ の確率分布を $P(Y=y_i)=p_{y_j}\quad(j=1,2,\cdots,m)$ ，とすると， $X$ と $Y$ は独立なので

$\begin{align} P(X=x_i,Y=y_j)&=P(X=x_i)\cdot P(Y=y_i)\\ &=p_{x_i}p_{y_i} \end{align}$

が成り立つ．

$XY$ の確率分布表は以下のようになる．

	$y_1$	$y_2$	$\cdots$	$y_m$
$x_1$	$x_1y_1$	$x_1y_2$		$x_1y_m$	計
$x_1$	$p_{x_1}p_{y_1}$	$p_{x_1}p_{y_2}$		$p_{x_1}p_{y_m}$	$p_{x_1}$
$x_2$	$x_2y_1$	$x_2y_2$		$x_2y_m$	計
$x_2$	$p_{x_2}p_{y_1}$	$p_{x_2}p_{y_2}$		$p_{x_2}p_{y_m}$	$p_{x_2}$
$\vdots$					$\vdots$
$\vdots$					$\vdots$
$x_n$	$x_ny_1$	$x_ny_2$		$x_ny_m$	計
$x_n$	$p_{x_n}p_{y_1}$	$p_{x_n}p_{y_2}$		$p_{x_n}p_{y_m}$	$p_{x_n}$
	計	計		計	計
	$p_{y_1}$	$p_{y_2}$		$p_{y_m}$	$1$

このとき， $XY$ の期待値 $E(XY)$ は

$\begin{align} &E(XY)\\ =&(x_1y_1)p_{x_1}p_{y_1}+(x_1y_2)p_{x_1}p_{y_2}\\ &\qquad+\cdots+(x_1y_m)p_{x_1}p_{y_m}\\ &+(x_2y_1)p_{x_2}p_{y_1}+(x_2y_2)p_{x_2}p_{y_2}\\ &\qquad+\cdots+(x_2y_m)p_{x_2}p_{y_m}\\ &+\cdots\\ &+(x_ny_1)p_{x_n}p_{y_1}+(x_ny_2)p_{x_n}p_{y_2}\\ &\qquad+\cdots+(x_ny_m)p_{x_n}p_{y_m}\\ =&x_1p_{x_1}(y_1p_{y_1}+y_2p_{y_2}+\cdots+y_mp_{y_m})\\ &+x_2p_{x_2}(y_1p_{y_1}+y_2p_{y_2}+\cdots+y_mp_{y_m})\\ &+\cdots\\ &+x_np_{x_n}(y_1p_{y_1}+y_2p_{y_2}+\cdots+y_mp_{y_m})\\ =&(x_1p_{x_1}+x_2p_{x_2}+\cdots+x_np_{x_n})\\ &\times(y_1p_{y_1}+y_2p_{y_2}+\cdots+y_np_{y_m})\\ =&E(X)E(Y) \end{align}$

独立な確率変数の積の期待値の公式

$X,Y$ を確率変数とするとき

$E(XY)=E(X)E(Y)$

が成り立つ．

公式を使った期待値の計算

期待値の計算～その２～と同じ問題を，今度は公式を上手に使って解け．

1，2，3，4と数字の書いてあるカードがそれぞれ1枚ずつ計4枚ある．カードを2枚引くとき，そのカードの番号の和を確率変数 $X$ として，期待値 $E(X)$ を求めよ．また，カードの番号の積を確率変数 $Y$ として，期待値 $E(Y)$ を求めよ．
1，2，3の数字の書いてあるくじ（引いたら元に戻すものとする）を2回引き，その数字の和を確率変数 $X$ として，期待値 $E(X)$ を求めよ．また，数字の積を確率変数 $Y$ として，期待値 $E(Y)$ を求めよ．

公式を使った期待値の計算の公式

はじめに引いたカードの番号を確率変数 $A$ ，2枚目に引いたカードの番号を確率変数 $B$ とすると $A,B$ の確率分布は次のようになる．

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}\hline A,B&1&2&3&4&計\\\hline P&\frac{1}{4}&\frac{1}{4}&\frac{1}{4}&\frac{1}{4}&1\\\hline \end{array}$

$E(A)=E(B)=\frac{1}{4}(1+2+3+4)=\frac{5}{2}$

$X=A+B$ であるから

$\begin{align} E(X)&=E(A+B)\\ &=E(A)+E(B)\\ &=\frac{5}{2}+\frac{5}{2}\\ &=\boldsymbol{5} \end{align}$

$\blacktriangleleft$ 確率変数の和の期待値の公式

また，確率変数 $Y$ の確率分布は次のようになる．

$\blacktriangleleft$ 確率変数 $A$ と $B$ は独立ではないので $E(AB)=E(A)E(B)$ は成り立たず，定義式で計算するしかない.

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}\hline X&2&3&4&6&8&12\\\hline P&\frac{1}{6}&\frac{1}{6}&\frac{1}{6}&\frac{1}{6}&\frac{1}{6}&\frac{1}{6}\\\hline \end{array}$

$\begin{align} E(Y)&=\frac{1}{6}(2+3+4+6+8+12)\\ &=\boldsymbol{\frac{35}{6}} \end{align}$

はじめに引くくじの番号を確率変数 $A$ ，2回目に引くくじの番号を確率変数 $B$ とすると， $A,B$ の確率分布は次のようになる．

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline A,B&1&2&3&計\\\hline P&\frac{1}{3}&\frac{1}{3}&\frac{1}{3}&1\\\hline \end{array}$

$E(A)=E(B)=\frac{1}{3}(1+2+3)=2$

$X=A+B$ であるから

$\begin{align} E(X)&=E(A+B)\\ &=E(A)+E(B)\\ &=2+2\\ &=\boldsymbol{4} \end{align}$

$\blacktriangleleft$ 確率変数の和の期待値の公式

また， $Y=AB$ であり確率変数 $A$ と $B$ は独立なので

$\begin{align} E(Y)&=E(AB)\\ &=E(A)\cdot E(B)\\ &=2\cdot2\\ &=\boldsymbol{4} \end{align}$

$\blacktriangleleft$ 独立な確率変数の積の期待値の公式

期待値

期待値とは何か

期待値の E(X)E(X) の定義

期待値の計算～その1～

期待値の計算～その1～の解答

期待値の計算～その2～

期待値の計算～その2～の解答

確率変数の1次式の期待値

確率変数の１次式の期待値

確率変数の１次式の期待値の解答

暗記確率変数の１次式の期待値

確率変数の１次式の期待値の解答

確率変数の１次式の期待値の公式

吹き出し無題

確率変数の和の期待値

確率変数の和の期待値

確率変数の和の期待値の解答

暗記確率変数の和の期待値

確率変数の和の期待値の解答

確率変数の和の期待値の公式

独立な確率変数の積の期待値

独立な確率変数の積の期待値

独立な確率変数の積の期待値の解答

暗記独立な確率変数の積の期待値

独立な確率変数の積の期待値の解答

独立な確率変数の積の期待値の公式

公式を使った期待値の計算

公式を使った期待値の計算の公式

期待値の $E(X)$ の定義