等比数列の一般項

初項aに順次，一定の数 $r$ (公比(common ratio)という)をかけて得られる数列のことを等比数列(geometric sequence)という．具体的に書き表すと

となる．

また，等比数列は漸化式を用いて

\begin{cases} a_1=a\\ a_{n+1}=a_nr\quad(n=1,2,3,\cdots) \tag{1}\label{touhisuretunoteigi} \end{cases}

と表すこともできる．

試しに，この漸化式 $\eqref{touhisuretunoteigi}$ の $n$ に $1,2,3$ を代入すると，確かに $ar,ar^2,ar^3$ が作られるのがわかる．

なお，次のような数列も等比数列となることに注意しておこう．

$a,0,0,0,\cdots$ (初項 $a$ ，公比 $0$ の等比数列)

$a,a,a,a,\cdots$ (初項 $a$ ，公比 $1$ の等比数列)

この等比数列の第 $n$ 項つまり一般項 $a_n$ は

「初項から第 $n$ 項までには $r$ を $n-1$ 個かける」

と考えて

\[a_n=ar^{n-1}\]

となるのはすぐにわかるだろう．

また，漸化式 $(1)$ から一般項 $a_n$ を求める方法もみておこう．

STEP1

漸化式 $(1)$ の $n$ に $1,2,3,\cdots,n-2,n-1$ を代入し，得られる式を縦に並べておく．

\begin{align} a_2&=a_1r\\ a_3&=a_2r\\ &\vdots\\ a_{n-1}&=a_{n-2}r\\ a_n&=a_{n-1}r\\ \end{align}

STEP2

すべての式の辺々を掛け合わせると， $a_2,a_3,\cdots,a_{n-1}$ が打ち消される．

\begin{align} a_2&=a_1r\\ a_3&=a_2r\\ \vdots\\ a_{n-1}&=a_{n-2}r\\ a_n&=a_{n-1}r\\\hline a_n&=a_1r^{n-1} \end{align}

よって， $a_1=a$ に注意して，次式を得る．

\[a_n=ar^{n-1}\]