等比数列の和

等比数列の和の求め方

ここでは，等比数列の初項 $a$ から第 $n$ 項までの和 $S_n$ を求めてみよう． $r\neq1$ のときは次のようになる．

STEP1

等比数列の一般項 $a_n=a_1r^{n-1}$ に， $1,2,3,\cdots,n-2,n-1,n$ を代入して足し合わせる式を書く．

\begin{array}{ll} &&&\fbox{1}&&\fbox{2}&&\fbox{3}\\ &S_n&=&a&+&ar&+&ar^2\\ &&&&&\fbox{n-2}&&\fbox{n-1}&&\fbox{n}\\ &&+&\cdots&+&ar^{n-3}&+&ar^{n-2}&+&ar^{n-1} \end{array}

STEP2

この式の辺々 $r$ 倍した式を書く．

\begin{array}{ll} &&&\fbox{1}&&\fbox{2}&&\fbox{3}\\ &rS_n&=&ar&+&ar^2&+&ar^3\\ &&&&&\fbox{n-2}&&\fbox{n-1}&&\fbox{n}\\ &&+&\cdots&+&ar^{n-2}&+&ar^{n-1}&+&ar^n \end{array}

STEP3

上の2 つの式を並べる．このとき， $r$ 倍した式の方を右に1段ずらして書いておく．

STEP4

上の式から下の式を引く．そのとき，各項のかたまりを崩さないようにする．

$r\neq1$ ならば，この式の両辺を $1-r$ で割ることができるので， $(1-r)S_n=a(1-r^n)$ より

\[S_n=\frac{a(1-r^n)}{1-r}\ \left(=\frac{a(r^n-1)}{r-1}\right)\]

を得る．

また， $r=1$ のときは， $S_n=\overset{n個}{\overbrace{a+a+a+\cdots+a+a}}=an$ となる．

以上，まとめておこう．

等比数列の和

初項 $a$ ，公比 $r$ の等比数列の，初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ は

  1. $r\neq1$ のとき
    2. \begin{align} S_n&=\frac{a(1-r^n)}{1-r}\\ &=\frac{a(r^n-1)}{r-1} \end{align}
  2. $r=1$ のとき $S_n=an$

吹き出し無題

この式は

\[(等比数列の和)=\frac{(初項)\times\left(1-(公比)^{(項数)}\right)}{1-(公比)}\]

と覚えておくとよい．つまり，等比数列の和は「初項」と「公比」と「項数」という3 つの要素がわかれば簡単に計算することができる．

等比数列の和～その１～

次の等比数列 $\{a_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ を求めよ．また， $S_6$ を求めよ．

  1. $2,6,18,54,162,\cdots$
  2. $81,-27,9,-3,1,\cdots$

初項が2，公比が3の等比数列だから，初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ は

\[S_n=\frac{2(3^n-1)}{3-1}=\boldsymbol{3^n-1}\]

また， $S_6=3^6-1=\boldsymbol{728}$ である．

  • 初項が81，公比が $-\frac{1}{3}$ の等比数列だから，初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ は
    • \begin{align} S_n&=\frac{81\left\{1-\left(-\frac{1}{3}\right)^n\right\}}{1-\left(-\frac{1}{3}\right)}\\ &=\boldsymbol{\frac{243}{4}\left\{1-\left(-\frac{1}{3}\right)^n\right\}} \end{align}

    また

    \begin{align} S_6&=\frac{243}{4}\left\{1-\left(-\frac{1}{3}\right)^6\right\}\\ &=\frac{243}{4}\left(1-\frac{1}{729}\right)\\ &=\boldsymbol{\frac{182}{3}} \end{align}

    等比数列の和～その２～

    毎年の初めに100万円ずつ，年利 $3\%$ ，1年ごとの複利法で10年積み立てたときの元利合計 $S$ 円を求めよ．ただし $1.03^{10}=1.34$ とする．なお，複利法とは1年ごとに利子を元金にくり入れ，その合計額を次年の元金として利子を計算する手法のことである．

    毎年の元利がいくらになるかを考えると

    \begin{align} 1年目&\colon\ 100\times1.03\\ 2年目&\colon\ (100+100\times1.03)\times1.03\\ &=100\times1.03+100\times1.03^2\\ 10年目&\colon\ 100\times1.03+100\times1.03^2+100\times1.03^3\\ &\qquad+\cdots+100\times1.03^{10} \end{align}

    これは初項 $100\times1.03$ ，公比 $1.03$ ，項数 $10$ の等比数列の和なので

    \begin{align} S_{10}&=\frac{100\times1.03(1.03^{10}-1)}{1.03-1}\\ &=\frac{100\times1.03(1.34-1)}{1.03-1}\\ &=\frac{100\times1.03\times0.34}{0.03}\\ &\simeq\boldsymbol{1167} \end{align}