包含と排除の原理

2集合の包含と排除の原理

1，2，3，4，5，6の数字が書いてあるさいころを1回振り，さらに1，2，3，4の数字が書いてある4枚のカードから1枚引くとする． 2つの数字の積が偶数となるのは何通りか．『包含と排除の原理』を用いて求めよ．

『ド・モルガンの法則』の例題の場合と同じように

$C$ ：「さいころの数字が偶数である」

$D$ ：「カードの数字が偶数である」

とおくと，求める場合の数は $n(C\cup{D})$ である． 和集合の要素の個数に関して

\[n(C\cup{D})=n(C)+n(D)-n(C\cap{D})\]

が成り立つ．また，集合 $C\cap{D}$ に対応する事柄は

$\qquad$ 「さいころ，カードの数字が共に偶数」

となる．

ここで， $n(C)$ ， $n(D)$ ， $n(C\cap{D})$ はそれぞれ

\[n(C)=3\times4=12\] \[n(D)=6\times2=12\] \[n(C\cap{D})=3\times2=6\]

となるので

\begin{align} n(C\cup{D})&=n(C)+n(D)-n(C\cap{D})\\ &=12+12-6=\boldsymbol{18} \end{align}

通り

集合を利用した数え上げのまとめ

1から100までの自然数のうち，次のような数は全部でいくつあるか．

  1. 3で割りきれ，かつ，7で割りきれる数．
  2. 3で割りきれるか，または，7で割りきれる数．
  3. 3で割りきれなく，かつ，7で割りきれない数．
  4. 3で割りきれないか，または，7で割りきれない数．

事柄A，Bをそれぞれ

$\qquad A$ ：「3で割りきれる」

$\qquad B$ ：「7で割りきれる」

とする．まず， $n(A)$ と $n(B)$ について

$\qquad 100\div3=33$ あまり1

$\qquad 100\div7=14$ あまり2

であるから

$\qquad n(A) = 33,n(B) = 14$

である．

  1. 「3で割りきれ，かつ，7で割りきれる数」は集合で $A\cap{B}$ と表すことができ， これは結局「21で割りきれる数」のことである．

    2. $100\div21=4$ あまり16であるから

    $n(A\cap{B})=\boldsymbol{4}$

  2. 「3で割りきれるか，または，7で割りきれる数」は集合で $A\cup{B}$ と表すことができる．
    3. \begin{align} &n(A\cup{B})\\ =&n(A)+n(B)-n(A\cap{B})\\ =&33+14-4\\ =&33+14-4=\boldsymbol{43} \end{align}
  3. 求める場合の数は $n(\overline{A}\cap\overline{B})$ である．全体集合をUとすると
    4. \begin{align} &n(\overline{A}\cap\overline{B})\\ =&n(\overline{A\cup{B}})\\ =&n(U)-n(A\cup{B})\\ =&100-43=\boldsymbol{57} \end{align}
  4. 求める場合の数は $n(\overline{A}\cup\overline{B})$ である．
    5. \begin{align} &n(\overline{A}\cup\overline{B})\\ =&n(\overline{A\cap{B}})\\ =&n(U)-n(A\cap{B})\\ =&100-4=\boldsymbol{96} \end{align}