ボールと箱のモデル1

$_{5}\mathrm{P}_{3}$ の定義は

「区別する5個のものから3個とりだして1列に並べるときの並べ方の総数」

であったが，これは以下に示すボールと箱のモデルを使って

「区別する3個のボールを，区別する5個の箱に多くても1個配る場合の総数」

といいかえることができる．

準備として，ボールは区別するので番号をつけ，それを①，②，③とし， 箱も区別するので番号をつけ，それを

としておく．

まず，ボール①を箱に配ることを考えると，箱は5つあるので5通りの場合がある．

次に，ボール②を箱に配ることを考えると，すでにボール①は箱に配られていて 残りの箱は4つあるので，4通りの場合がある．

さらに，ボール③を箱に配ることを考えると，すでにボール①と②は 箱に配られていて残りの箱は3つあるので，3通りの場合がある．

以上から，ボールの箱への配り方は $5\times4\times3$ 通りあり，これは $_{5}\mathrm{P}_{3}$ と一致する．

一般に，次のようにまとめることができる．