順列$_{n}\text{P}_{r}$の計算

区別する $n$ 個のものから $r$ 個取り出して1列に並べる順列の数 $_{n}\mathrm{P}_{r}$ は，上の例と同じように考えることができる．

1番目のものの取り方は $n$ 通りあり， 2番目のものの取り方はそのそれぞれに対して $n − 1$ 通りあり， 3番目のものの取り方はそのそれぞれに対して $n − 2$ 通りあり， $\cdots$ $r$ 番目のものの取り方はそのそれぞれに対して $n − (r − 1)$ 通りある．

したがって，『積の法則』より

\begin{align} _{n}\mathrm{P}_{r}&=\underbrace{n(n-1)\cdots(n-r+1)}\tag{1}\label{zyunretunPrnokeisan1}_{r個の積} \end{align}

と計算できることがわかる．

特に， $r$ が $n$ に等しいとき，つまり $r = n$ のときには， $_{n}\mathrm{P}_{n}=n(n-1)(n-2)\cdots\cdots3\cdot2\cdot1$ となる．右辺は1から $n$ までの すべての自然数の積であり，これを $n$ の階乗(factorial)といい，記号 $\boldsymbol{n!}$ で表す． つまり

\[n!=\ _{n}\mathrm{P}_{n}=n(n-1)(n-2)\cdots\cdots3\cdot2\cdot1\]

である．

また， $r < n$ のとき， $_{n}\mathrm{P}_{r}$ の分母・分子に $(n − r)!$ をかけることにより

\begin{align} &_{n}\mathrm{P}_{r}=_{n}\mathrm{P}_{r}\times\dfrac{(n-r)!}{(n-r)!}\\ =&\dfrac{n(n-1)\cdots(n-r+1)(n-r)\cdots2\cdot1}{(n-r)\cdots2\cdot1} \end{align}

と変形なるので，分子は $n!$ で表すことができ

\[_{n}\mathrm{P}_{r}=\dfrac{n!}{(n-r)!}\tag{2}\label{zyunretunPrnokeisan2}\]

となる．

$r = n$ のとき，　$\eqref{zyunretunPrnokeisan2}$ は形式的に $_{n}\mathrm{P}_{n}=\frac{n!}{0!}$ と表せるが， $_{n}\mathrm{P}_{n} = n!$ となって欲しいので， $0! = 1$ と定めることにする． こうすれば， $\eqref{zyunretunPrnokeisan2}$ は $r = n$ のときにも成り立つ．

以上， $\eqref{zyunretunPrnokeisan1}$ ， $\eqref{zyunretunPrnokeisan2}$ をまとめると

順列 $_{n}\mathrm{P}_{r}$ の計算

順列 $_{n}\mathrm{P}_{r}$ は

\begin{align} _{n}\mathrm{P}_{r}=&\ n(n-1)(n-2)\cdots\cdots(n-r+1)\\ =&\dfrac{n!}{(n-r)!} \end{align}

と計算できる．ただし，n，rは0以上の整数とし， $n\geqq{r}$ とする．

吹き出し無題

よくあるまちがいとして， $_{n}\mathrm{P}_{0}=0$ としてしまうというのがある． 上の式によれば，

$_{n}\mathrm{P}_{0}=\dfrac{n!}{(n-0)!}=1$ である． このことは， $_{n}\mathrm{P}_{0}$ すなわち「区別する $n$ 個のものから $0$ 個取り出して1列に並べる場合の数」は， 「1個も並べない」という1通りである，と

こじつけ

で覚えてしまうとよい．

また， $\eqref{zyunretunPrnokeisan2}$ の $_{n}\mathrm{P}_{r}=\frac{n!}{(n-r)!}$ は，ただ計算上で成り立つだけでなく

とりあえず， $n$ 個の区別するものをすべて並べて $n!$ 通りの樹形図を作ってから，（左から $r$ 個のものにしか着目しないので）関係のない 右から $n − r$ 個の並べ方の違いについては無視するため， $(n − r)!$ 通りで1束にして数えたもの

と考えることもできる．このことの具体例を示すため，以下には $_{4}\mathrm{P}_{4}( = 4!)$ と $_{4}\mathrm{P}_{2}$ の対応を樹形図で表した． $_{4}\mathrm{P}_{2}$ 通りは， $_{4}\mathrm{P}_{4}$ 通りの順列において $(4 − 2)!$ 通りで割って1束にしたものであることを確認しよう．

$_{4}\mathrm{P}_{4}$ と $_{4}\mathrm{P}_{2}$ の樹形図

$_{4}\mathrm{P}_{4}$ と $_{4}\mathrm{P}_{2}$ の樹形図

例題：順列の計算練習

次の値を求めよ．

  1. $_{5}\mathrm{P}_{2}$
  2. $_{7}\mathrm{P}_{4}$
  3. $_{6}\mathrm{P}_{3}$
  4. $_{10}\mathrm{P}_{8}$

具体的な数を計算したいときには， $\eqref{zyunretunPrnokeisan1}$ を使う．

  1. $_{5}\mathrm{P}_{2}=5\cdot 4=\boldsymbol{20}$
  2. $_{7}\mathrm{P}_{4}=7\cdot 6\cdot 5\cdot 4=\boldsymbol{840}$
  3. $_{6}\mathrm{P}_{3}=6\cdot 5\cdot 4=\boldsymbol{120}$
  4. \begin{align} _{10}\mathrm{P}_{8}&=10\cdot 9\cdot 8\cdot 7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\\ &=\boldsymbol{1814400} \end{align}

例題：順列～その1～

  1. $1,2,3,4,5,6$ の6個の数字を使って3桁の整数を作るとき何通りの方法があるか．ただし，同じ文字は二度使えないものとする．
  2. 30人のクラスがある．このクラスで，委員長，副委員長，書記をそれぞれ一名ずつ決めるとき，何通りの決め方があるか．

  1. 3桁の整数は，異なる6個の数字から3つ選んで並べることにより作ることができるから

    2. $_{6}\mathrm{P}_{3}=6\cdot 5\cdot 4=\boldsymbol{120}$ 通り

  2. 委員長，副委員長，書記をそれぞれ一名ずつ決めるには，30人の中から3人を選んで横1列並べ， 左から順に委員長，副委員長，書記とすればよいので

    3. $_{30}\mathrm{P}_{3}=30\cdot 29\cdot 28=\boldsymbol{24360}$ 通り

例題：順列～その2～

5個の整数 $0,1,2,3,4$ があり，この中から異なる数字を用いて整数を作る．

  1. 3桁の整数は何通り作れるか．
  2. 3桁の整数で，かつ百の位と十の位が奇数のものは何通り作れるか．

  1. 百の位にあるのは $0,1,2,3,4$ のうち0を除いた ←最高位の数字は0にならないことに注意

    2. 4種類，このそれぞれに対して 十の位にあるのは百の位で選んだ以外の数字で4種類，さらにこのそれぞれに対して 一の位にあるのは百の位と十の位にない3種類がある．よって

    $4\cdot 4\cdot 3=\boldsymbol{48}$ 通り

    《別解：補集合を考える》

    5種類の文字から3つ選んで並べたときの順列 $_{5}\mathrm{P}_{3}$ 通りから， 百の位の数が0であるときの順列 $_{4}\mathrm{P}_{2}$ 通りを引くことによって

    $_{5}\mathrm{P}_{3}-_{4}\mathrm{P}_{2}=\boldsymbol{48}$ 通り

  2. 奇数は1と3の2種類がある． 百の位と十の位に関しての順列は $_{2}\mathrm{P}_{2}$ 通り．このそれぞれに対して， 一の位には残りの0，2，4の3種類の数字が入るので

    3. $_{2}\mathrm{P}_{2}\cdot 3=\boldsymbol{6}$ 通り

順列～その3～

7つの整数 $1,2,3,4,5,6,7$ を1列に並べる．

  1. 6と7が隣り合うものは何通りあるか．
  2. 5と6と7が隣り合うものは何通りあるか．
  3. 両端が1と2になるものは何通りあるか．

  1. 隣り合う6と7の2つを合わせて1つのものとして考え，全体で6つのものの順列を考え

    2. $6!$ 通り

    このそれぞれに対して，6と7の並び方は，67と76の2通りあるので

    $6!\times2=\boldsymbol{1440}$ 通り

  2. 隣り合う5と6と7の3つを合わせて1つのものとして考え，全体で5つのものの順列を考え

    3. $5!$ 通り

    このそれぞれに対して，5と6と7の並び方は， $3!$ 通りあるので

    $5!\times3!=\boldsymbol{720}$ 通り

  3. 両端には1と2の順列を考え2通り．

    4. このそれぞれに対して，両端でない文字は $5!$ 通りの並び方があるので

    $5!\times2=\boldsymbol{240}$ 通り

吹き出し無題

ものを並べる問題で，“隣り合う”ものを考える場合には，その隣り合うものをひとまとめにして考えるとよい．