$(a+b)^n$の展開式(2項定理)

1. $(2x+1)^6$ を展開したとき， $x^2$ を含む項は
$$\begin{align} _{6}\mathrm{C}_{4}(2x)^21^4 \end{align}$$

$\uparrow$ 2項定理を部分的に使った

となる．よって， $x^2$ の係数は

$$\begin{align} _{6}\mathrm{C}_{4}\cdot2^2=\boldsymbol{60} \end{align}$$
2. $(2x−3y)^5$ を展開したとき， $x^3y^2$ を含む項は
$$\begin{align} _{5}\mathrm{C}_{2}(2x)^3(-3y)^2 \end{align}$$

$\uparrow$ 2項定理を部分的に使った

となる．よって， $x^3y^2$ の係数は $$\begin{align} _{5}\mathrm{C}_{2}\cdot2^3\cdot(-3)^2=\boldsymbol{720} \end{align}$$

3. $(a+b)^7$ の展開において， $a=x^2,b=-\dfrac{1}{2x}$ としたものが $\left(x^2-\dfrac{1}{2x}\right)^7$ である． $a^2b^5$ を計算すると $\dfrac{1}{x}$ の項ができるので，このときの係数を求める．
$$\begin{align} &_{7}\mathrm{C}_{5}a^2b^5\\ =\ &_{7}\mathrm{C}_{5}(x^2)^2\left(-\frac{1}{2x}\right)^5\\ =\ &_{7}\mathrm{C}_{5}\left(-\frac{1}{2}\right)^5\frac{1}{x}\\ =\ &-\frac{21}{32}\cdot\frac{1}{x} \end{align}$$

$\uparrow$ 2項定理を部分的に使った

よって，求める係数は $\boldsymbol{-\dfrac{21}{32}}$である．

4. $(a+b)^{12}$ の展開において， $a=x,b=-\dfrac{1}{2x^2}$ としたものが $\left(x-\dfrac{1}{2x^2}\right)^{12}$ である． $a^8b^4$ を計算すると定数項ができるので，このときの係数を求める．
   $$\begin{align} &_{12}\mathrm{C}_{4}a^8b^4\\ =\ &_{12}\mathrm{C}_{4}x^8\left(-\frac{1}{2x^2}\right)^4\\ =\ &_{12}\mathrm{C}_{4}\left(-\frac{1}{2}\right)^4\\ =\ &\frac{495}{16} \end{align}$$

   $\uparrow$ 2項定理を部分的に使った

   よって，求める係数は $\boldsymbol{\dfrac{495}{16}}$ である．

1. $(2x+y-z)^8=\left\{2x+(y-z)\right\}^8$ として考える．

これを展開したとき， $x^2$ の項は

$$\begin{align} _{8}\mathrm{C}_{6}(2x)^2(y-z)^6 \end{align}$$

$\uparrow$ 2項定理を部分的に使った

として計算される．

さらに $(y−z)^6$ を展開したとき， $y^3$ の項は

$$\begin{align} _{6}\mathrm{C}_{3}y^3(-x)^3 \end{align}$$

$\uparrow$ 2項定理を部分的に使った

として計算される．

よって， $(2x+y-z)^8$ を展開したときの $x^2y^3z^3$ の係数は

$$\begin{align} &_{8}\mathrm{C}_{6}\cdot\ 2^2\cdot\ _{6}\mathrm{C}_{3}\cdot(-1)^3\\ =\ &-4\cdot\ _{8}\mathrm{C}_{2}\cdot\ _{6}\mathrm{C}_{3}=\boldsymbol{-2240} \end{align}$$
2. $(x-2y-z)^5=\left\{x+(-2y-z)\right\}^5$ として考える． これを展開したとき， $x^2$ の項は
$$\begin{align} _{5}\mathrm{C}_{3}x^2(-2y-z)^3 \end{align}$$

$\uparrow$ 2項定理を部分的に使った

として計算される．

さらに $(−2y−z)^3$ を展開したとき， $y$ の項は

$$\begin{align} _{3}\mathrm{C}_{2}(-2y)(-z)^2 \end{align}$$

$\uparrow$ 2項定理を部分的に使った

として計算される．

よって， $(x−2y−z)^8$ を展開したときの $x^2yz^2$ の係数は

$$\begin{align} \ &_{5}\mathrm{C}_{3}\cdot\ _{3}\mathrm{C}_{2}\cdot(-2)\cdot(-1)^2\\ =\ &-2\cdot\ _{5}\mathrm{C}_{2}\cdot\ _{3}\mathrm{C}_{1}=\boldsymbol{-60} \end{align}$$

2項定理

において

1. $a=b=1$ とおくと
$$\begin{align} 2^n=&\ _{n}\mathrm{C}_{0}+\ _{n}\mathrm{C}_{1}+\ _{n}\mathrm{C}_{2}+\cdots\\ &\qquad+\ _{n}\mathrm{C}_{n-1}+\ _{n}\mathrm{C}_{n} \end{align}$$

となり，確かに成立する．

2. $a=1,b=−1$ とおくと
$$\begin{align} 0=&\ _{n}\mathrm{C}_{0}-\ _{n}\mathrm{C}_{1}+\ _{n}\mathrm{C}_{2}-\cdots\\ &+(-1)^{n-1}\ _{n}\mathrm{C}_{n-1}+(-1)^n\ _{n}\mathrm{C}_{n} \end{align}$$

となり，確かに成立する．

3. $a=1,b=−2$ とおくと
$$\begin{align} &\ (-1)^n\\ =&\ _{n}\mathrm{C}_{0}-2\ _{n}\mathrm{C}_{1}+2^2\ _{n}\mathrm{C}_{2}-\cdots\\ &\qquad+(-2)^{n-1}\ _{n}\mathrm{C}_{n-1}+(-2)^n\ _{n}\mathrm{C}_{n} \end{align}$$

となり，確かに成立する．