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ある試行における標本空間を $U$ ，事象を $A$ とする．このとき， $U,A$ はそれぞれ， $n(U),n(A)$ 個の根元事象からなり

$0\leqq n(A)\leqq n(U)$

が成り立つ．根元事象が同様に確からしい場合， $\dfrac{n(A)}{n(U)}=\text{P}(A)$ であるから，上の式を $n(U)$ で割ることにより

$0\leqq \text{P}(A)\leqq 1\tag{1}\label{kakuritunokihonseisitu1}$

となる．特に標本空間 $U$ に関しては

$\text{P}(U) = 1\tag{2}\label{kakuritunokihonseisitu2}$

である．

また，事象 $A,B$ について $A\cap{B}=\emptyset$ すなわち $A$ と $B$ が共通の根元事象をもたないとき， $A\cup{B}$ の作る根元事象の個数は

$n(A\cup{B})=n(A)+n(B)$

であるから，両辺を $n(U)$ で割ることにより

$\frac{n(A\cup{B})}{n(U)}=\frac{n(A)}{n(U)}+\frac{n(B)}{n(U)}$

つまり

$\text{P}(A\cup{B})=\text{P}(A)+\text{P}(B)\tag{3}\label{kakuritunokihonseisitu3}$

となる．

確率の基本性質

ある試行における標本空間を $U$ ，事象を $A,B$ とすると，根元事象が同様に確からしいとき

が成り立つ．

$A\cap{B}=\emptyset$ のとき，事象 $A$ と $B$ は排反はいはんであるという．詳しくは，この後すぐ加法定理と排反事象で学ぶ．