乗法定理

条件付確率の定義である $\eqref{zyoukentukikakuritu2}$ の分母を払うと

$P(A\cap{B})=P(A)P_A(B)$

が成り立つ．これを確率の乗法定理（multiplication theorem）という．

乗法定理

ある試行における事象を $A,B$ とするとき

$P(A\cap{B})=P(A)P_A(B)$

が成り立つ．

吹き出し無題

分母を払っただけで，「定理」というのはおかしい気がするかもしれないが，この式には，「条件付確率での $\eqref{zyoukentukikakuritu2}$ の $\frac{n(A\cap{B})}{n(A)}$ で簡単に条件付確率 $P_A(B)$ が求まるときには，逆にこれを利用して $P(A\cap{B})$ が求められますよ」という意味が込められている．

先程の例でいうなら，スペードのエースを引く確率 $P(A\cap{B})$ を求めるのに，まずスペードを引く確率 $P(A)=\frac{3}{7}$ に，スペードを引いた条件の下でそれがエースである確率 $P_A(B)=\frac{1}{3}$ をかけて

$P(A\cap{B})=\frac{3}{7}\times\frac{1}{3}=\frac{1}{7}$

とすればよいことをいっている．

暗記条件付確率と乗法定理～その１～

5本のうち2本が当りのくじがあり，そこから1本ずつくじを引く．

$A$ ：「1回目のくじ引きで当りが出る」

$B$ ：「2回目のくじ引きで当りが出る」

という事象 $A,B$ を考える．このとき，積事象 $A\cap{B}$ つまり

$A\cap{B}$ ：「1回目と2回目のくじ引きで連続して当りが出る」

という事象の確率 $P(A\cap{B})$ を以下の2通りで求めよ．

標本空間を連続して2回を引いたときのくじの組合せとして $P(A\cap{B})$ を求めよ．
乗法定理 $P(A\cap{B})=P(A)P_A(B)$ を利用して求めよ.

条件付確率と乗法定理～その１～の解答

5本のくじから連続して2本くじを引くときの組合せは $_{5}\mathrm{C}_{2}$ 通りあり，これは同様に確からしい．このうち，2本とも当りであるのは1通りであるから
$\blacktriangle$ 5本のくじに番号をつけると，2本のくじ引きの組合せは①②,①③,①④,①⑤,②③,②④,②⑤,③④, ③⑤,④⑤ の $_{5}\mathrm{C}_{2}$ 通りある．①と②を当りくじとすれば，連続して2回当るのは①②の場合である．
$P(A\cap{B})=\frac{1}{_{5}\mathrm{C}_{2}}=\boldsymbol{\frac{1}{10}}$
となる．
$P(A)$ つまり，1回目のくじ引きで当る確率は

$P(A)=\frac{2}{5}$

$P_A(B)$ つまり，1回目のくじ引きで当った条件の下，2回目のくじ引きで当る確率は

$P_A(B)=\frac{n(A\cap{B})}{n(A)}=\frac{1}{4}$

よって，乗法定理より

$\begin{align} P(A\cap{B})&=P(A)P_A(B)\\ &=\frac{2}{5}\times\frac{1}{4}=\boldsymbol{\frac{1}{10}} \end{align}$

となる．

条件付確率と乗法定理～その２～

4本の当りくじを含む10本のくじがある．甲，乙がこの順にこのくじを1本ずつ引く．ただし，引いたくじはもとに戻さない．このとき次の問に答えよ．

甲が当ったという条件の下で，乙が当る確率を求めよ．
甲が当り，乙も当る確率を求めよ．
乙の当る確率を求めよ．

条件付確率と乗法定理～その２～の解答

事象 $A,B$ を

$A$ ：「甲が当る」

$B$ ：「乙が当る」

とおく．

甲が当った状況では，くじは9本残っていて，その中に当りくじは3本あるから

$P_A(B)=\frac{3}{9}=\boldsymbol{\frac{1}{3}}$

$\blacktriangleleft$ 条件付確率

求める確率は $P(A\cap{B})$ である．

$\begin{align} P(A\cap{B})&=P(A)\cdot P_A(B)\\ &=\frac{4}{10}\cdot\frac{1}{3}=\boldsymbol{\frac{2}{15}} \end{align}$

$\blacktriangleleft$ 乗法定理

甲が当り，乙が当るのは2. より $\dfrac{2}{15}$ である．また，甲がはずれて，乙が当るのは $\begin{align} P(\overline{A}\cap{B})&=P(\overline{A})\cdot P_{\overline{A}}(B)\\ &=\frac{6}{10}\cdot\frac{4}{9}=\frac{4}{15} \end{align}$
$\blacktriangleleft$ 乗法定理
よって， $\dfrac{2}{15}+\dfrac{4}{15}=\boldsymbol{\dfrac{2}{5}}$ となる．
《別解：標本空間を乙の引くくじにとる》
乙の引きうるくじは10通りあり，これらは同様に確からしい．このうち当りくじは4本あるので，乙が当りくじを引く確率は
$\frac{4}{10}=\boldsymbol{\frac{2}{5}}$