約数と倍数
約数と倍数
余りが0になるような割り算を考える． 例えば，12を3で割ると，商は4余りは0となる． このとき，3は12の約数であり，12は3の倍数であるという．
一般には次のように表すことができる．
約数と倍数
2つの整数 $a,b$ が，ある整数 $k$ を用いて
\[a=bk\]と表せる時， $b$ は $a$ の約数であるといい， $a$ は $b$ の倍数であるという。
文脈によっては約数のことを，因数と呼ぶこともある． 例えば
\[60=3\cdot4\cdot5\]なので，3や4や5は，60の約数であり因数である．
倍数の和と積
- 整数 $a$ の倍数の和は $a$ の倍数であることを示せ．
- 整数 $a$ の倍数の積は $a$ の倍数であることを示せ．
整数 $a$ の倍数は，適当な整数 $m,n$ を用いて， $am,an$ と表すことができる．
このとき，倍数の和は
\begin{align} &am+an\\ =&a(m+n) \end{align}であり， $m+n$ は整数であるから， $a$ の倍数である．
また，倍数の積は
\begin{align} &am\cdot an\\ =&a\cdot amn \end{align}であり， $amn$ は整数であるから， $a$ の倍数である．
倍数の和と積
ある整数の倍数の和はある数の倍数である．
また，ある整数の倍数の積はある数の倍数である．