最大公約数と最小公倍数とは何か

最大公約数と最小公倍数とは何か

最大公約数と最小公倍数

2つ以上の整数において，それらに共通する約数を公約数といい，公約数のうち最大のものを最大公約数という．

最大公約数が1であるとき，その2つ以上の整数は互いに素であるという．

また，2つ以上の整数において，それらに共通する倍数を公倍数といい，正の公倍数のうち最小のものを最小公倍数という．

2つの整数 $a$ と $b$ の最大公約数は，英語表記のgreatest common divisorの頭文字をとって $\text{gcd}(a,b)$ などと表す．また，最小公倍数（least common multiple）も同様に， $\text{lcm}(a,b)$ などと表す．

最大公約数や最小公倍数を求めるには，素因数分解を使う．例えば，42と60をそれぞれ素因数分解すると

\begin{align} 42&=2\cdot3\cdot7\\ 60&=2^2\cdot3\cdot5 \end{align}

となる．

これら2つの数に共通する素因数は2と3であり，1はすべての数の約数となるので，公約数はこれら自身と積で組み合わせたもの，すなわち

\[1,2,3,6\]

が公約数となる．最大公約数は6である．

また，これら2つの数を共に因数にもつ $2^2\cdot3\cdot5\cdot7=420$ の倍数が公倍数である．最小公倍数は420である．

次の各組の多項式の最大公約数と最小公倍数を求めよ．ただし，答えの式は展開しなくてもよい．

最大公約数は $\boldsymbol{x+1}$ ，

最小公倍数は $\boldsymbol{(x+1)(x-1)}$ である．

$x^2-4=(x-2)(x+2)$ なので，

最大公約数は $\boldsymbol{x+2}$ ，

最小公倍数は $\boldsymbol{(x+2)(x-2)^2}$ である．

$x^2-x+6=(x+3)(x-2)$ なので，

最大公約数は $\boldsymbol{x+3}$ ，

最小公倍数は $\boldsymbol{(x-1)(x+3)(x-2)}$ である．

$x^2-2x-3=(x-3)(x+1)$ なので，

最大公約数は $\boldsymbol{x-3}$ ，

最小公倍数は $\boldsymbol{(x-1)(x+3)(x^2+3x+9)}$ である．

2つ以上の整数の公倍数は最小公倍数の倍数である．

2つ以上の整数の公約数は最大公約数の約数である．

整数 $a,b$ の最大公約数を $g$ ，最小公倍数を $l$ とすると

\[ab = gl\]

が成り立つ．