互いに素な数の性質
互いに素な数の性質
互いに素な数については，次のような性質がある．
互いに素な数の性質
$a,b$ が互いに素であるとき，
$bc$ が $a$ で割り切れるならば， $c$ が $a$ で割り切れる．
が成り立つ．ただし， $c$ は整数である．
【証明】
$a$ と $b$ は互いに素であるから，最大公約数と最小公倍数の積より， $a$ と $b$ の最小公倍数は $ab$ である．
$bc$ は $b$ の倍数であり，仮定より $a$ の倍数でもあるから， $ab$ の公倍数である．
公倍数は最小公倍数の倍数より， $bc$ は $ab$ の公倍数である．すなわち，適当な整数 $m$ を使って
\[bc = abm\]と表せる．この両辺を $b$ で割って， $c=am$ ，すなわち $c$ は $a$ で割り切れる．