$ax+by=0$ の整数解

$ax+by=0$ の整数解

$2x+3y=0$ の整数解を求めてみよう．

$x,y$ を整数解とすると

\[2x=-3y\]

が成り立つ． $3y$ は3の倍数であるから， $2x$ も3の倍数である．

2と3は互いに素であるから，互いに素な数の性質より， $x$ は3の倍数であり，適当な整数 $k$ を用いて， $x=3k$ と表される．これを， $2x=−3y$ に代入すると

\begin{align} &2\cdot3k=-3y\\ \Leftrightarrow&y=-2k \end{align}

となるから，方程式の解は $x=3k,y=−2k$ と表される．

逆に，この形で表される整数 $x,y$ の組みは，方程式の解となる．

以上より，方程式の整数解は $x=3k,y=−2k$ となる．

一般に次のことが成立する．