$ax+by=1$ の整数解
ax+by=1の整数解
次に，方程式 $2x+3y=1$ を満たす整数解を求めてみよう．
この場合，方程式 $2x+3y=1$ を満たす整数解のうち1つが発見すれば， $ax+by=0$ の整数解の問題に帰着できる．
暗記$ax+by=1$ の整数解
方程式 $2x+3y=1$ を満たす整数解を求めよ．
\[2x+3y=1\tag{1}\label{ax+by=1noseisukai1}\]
を満たす整数解として， $x=−1,y=1$ がある．つまり
\[2\cdot(-1)+3\cdot1=1\tag{2}\label{ax+by=1noseisukai2}\]$\eqref{ax+by=1noseisukai1}-\eqref{ax+by=1noseisukai2}$ より
\begin{align} &2\{x-(-1)\}+3\{y-1\}=0\\ \Leftrightarrow&2(x+1)+3(y-1)=0\tag{3}\label{ax+by=1noseisukai3} \end{align}2と3は互いに素であるから， $ax+by＝0$ の整数解より $\eqref{ax+by=1noseisukai3}$ のすべての整数解は
$x+1=3k,y−1=−2k（kは整数）$ と表せる．
よって， $\eqref{ax+by=1noseisukai1}$ のすべての整数解は
\[x=3k−1,y=−2k+1（kは整数）\]となる．
$ax+by=1$ の整数解
次の方程式の整数解をすべて求めよ．