等差数列の和の求め方

ここでは，等差数列の初項 $a$ から第 $n$ 項までの和 $S_n$ を求めてみよう．

STEP1

等差数列の一般項 $a_n=a+(n-1)d$ に， $1,2,\cdots,n-1,n$ を代入して足し合わせる式を書く．

\begin{array}{c} &&&\fbox{1}&&\fbox{2}\\ &S_n&=&a&+&(a+d)\\ &&&\fbox{3}\\ &&+&(a+2d)&+&\cdots\\ &&&\fbox{n-2}&&\fbox{n-1}\\ &&+&\{a+(n-3)d\}&+&\{a+(n-2)d\}\\ &&&\fbox{n}\\ &&+&\{a+(n-1)d\} \end{array}

STEP2

この式の右辺を，逆に並べて書く．

\begin{array}{c} &&&\fbox{n}&&\fbox{n-1}\\ &S_n&=&\{a+(n-1)d\}&+&\{a+(n-2)d\}\\ &&&\fbox{n-2}\\ &&+&\{a+(n-3)d\}&+&\cdots\\ &&&\fbox{3}&&\fbox{2}\\ &&+&(a+2d)&+&(a+d)\\ &&&\fbox{1}\\ &&+&a \end{array}

STEP3

上の2式を縦に足し合わせる．

右辺は全て $2a+(n-1)d$ であり，これが $n$ 個存在するので

\begin{align} 2S_n&=\{2a+(n-1)d\}\times n\\ S_n&=\frac{n}{2}\{2a+(n-1)d\} \end{align}

と表すことができる．これが求めたかった等差数列の初項 $a$ から第 $n$ 項までの和 $S_n$ である．

なお， $2a+(n-1)d=a_1+a_n$ より

\[S_n=\frac{n}{2}(a_1+a_n)\]

と表すこともできる．

以上，等差数列の和についてまとめておこう．

等差数列の和

初項 $a$ ，公差 $d$ の等差数列の，初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ は

\begin{align} S_n&=\frac{n}{2}\{2a+(n-1)d\}\\ &=\frac{n}{2}(a_1+a_n) \end{align}

と表せる．

吹き出し無題

等差数列の和の公式は

\[(等差数列の和)=\frac{項数}{2}\times\left((初項)+(末項)\right)\]

と覚えておくとよい．つまり，等差数列の和は「項数」と「初項」と「末項」という3 つの要素がわかれば求めることができる．

等差数列の和～その１～

次の等差数列 $\{a_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ を求めよ．また， $S_{10}$ を求めよ．

  1. $2,5,8,11,14,\cdots$
  2. $100,98,96,94,92,\cdots$

  1. 初項が2，公差が3の等差数列だから，この数列の般項 $a_n$ は
    2. \[a_n=2+(n-1)3=3n-1\]

    よって，初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ は

    \[S_n=\frac{n}{2}(a_1+a_n)=\boldsymbol{\frac{n(3n+1)}{2}}\]

    また，初項から第10項までの和 $S_{10}$ は

    \[S_{10}=\frac{10\cdot(3\cdot10+1)}{2}=\boldsymbol{155}\]
  2. 初項が100，公差が-2の等差数列だから，この数列の一般項 $a_n$ は
    3. \[a_n=100+(n-1)\cdot(-2)=-2n+102\]

    よって，初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ は

    \[S_n=\frac{n}{2}(a_1+a_n)=\boldsymbol{n(101-n)}\]

    また，初項から第10項までの和 $S_{10}$ は

    \[S_{10}=10\cdot(101-10)=\boldsymbol{910}\]

等差数列の和～その２～

1から50までの整数のうち，次のような数の和を求めよ．

  1. 2の倍数
  2. 3の倍数
  3. 2または3の倍数

  1. $A_2=\{2,4,6,\cdots,50\}$ は，初項2，項数25，末項50の等差数列であるから，求める和 $S_2$ は
    2. \[S_2=\frac{1}{2}\cdot25(2+50)=\boldsymbol{650}\]
  2. $A_3=\{3,6,9,\cdots,48\}$ は，初項3，項数16，末項48の等差数列であるから，求める和 $S_3$ は
    3. \[S_3=\frac{1}{2}\cdot16(3+48)=\boldsymbol{408}\]
  3. 2または3の倍数の和 $S$ は， $S=S_2+S_3-S_6$ で与えられるので， $S_6$ を求めればよい． $A_6=\{6,12,18,\cdots,48\}$ は，初項6，項数8，末項48の等差数列であるから， $S_6$ は
    4. \[S_6=\frac{1}{2}\cdot8(6+48)=216\]

    よって

    \[S_6=650+408−216=\boldsymbol{842}\]

等差数列の和の最大値

一般項 $a_n$ が $a_n=−6n+120$ である数列 $\{a_n\}$ について，以下の問に答えよ．

  1. 初めて負になる項は第何項目か．
  2. 初項からの和が最大になるのは，第何項目までの和か．また，その和の最大値を求めよ．

  1. $a_n=-6n+120$ が負になるのは
    2. \begin{align} &-6n+120\lt0\\ \Leftrightarrow\ &6n\gt120\\ \Leftrightarrow\ &n\gt20 \end{align}

    つまり， $n=21$ のとき $a_n$ は負となる．よって，初めて負になるのは $\boldsymbol{第21項目}$ である．

  2. 1. より，初項から第20項までの項は，すべて正，あるいは0なので， $S_{20}$ が初項からの和の最大値となる．また， $a_{20}=0$ であるから， $S_{20}=S_{19}$ であり，こちらも最大値である．よって，和が最大になるのは， $\boldsymbol{第19項目または第20項目}$ である．

    3. このとき，最大値は

    \begin{align} S_{19}&=\frac{19}{2}\cdot(a_1+a_{19})\\ &=\frac{19}{2}\cdot(114+6)\\ &=\boldsymbol{1140}\\ \blacktriangleleft S_{20}&=\frac{20}{2}\cdot(a_1+a_{20})\\ &=\frac{20}{2}\cdot(114+0)\\ &=1140 \end{align}

    【別解】

    一般項が $a_n=-6n+120$ である等差数列の和 $S_n$ は

    \begin{align} S_n&=\frac{n}{2}\{114+(-6n+120)\}\\ &=\frac{1}{2}(-6n+234)\\ &=-3n^2+117n \end{align}

    となり， $S_n$ が2次関数で与えられていることがわかる．下図のグラフより， $n$ が整数であることに注意すると，この $S_n$ が最大値をとるのは $\boldsymbol{n=19,20}$ のときである．